带根号的函数最值问题

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1、带根号的函数最值问题数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。1.单调性一致情况（x∈[1,2]）分析：这个函数，分成两部分。x是增的，也是增的。这个函数在定义域上单调增于是，最大值最小值就在端点时取到。2.单调性不一致的根号中一次项情况(x∈[0,1])分析：单调性不一致，首先考虑换元法令3．根号中出现二次项情况（x∈[-1,1]）分析：单调性很难判断。这时候首先考虑换元法方法一：三角换元我们知道，三角函数、的范围本身就是[-1,1]，代入以后可

2、以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。设x=,这里为了确定范围，不失一般性，设,利用1-=sin,去掉根号很方便。值域就是方法二：移项平方这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。两边平方注意到这里平方的条件是y≥x由于x存在，判别式大于等于0但要注意到，y≥x，于是有y≥-1方法三：求导求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。令y’≥0解得，不过这个过程颇为艰辛于是易得4.双根号明显数形结合的情况求最小值分析：明显可以看作两点间距离公式类型。

3、这类题难度不大。但要注意，当括号内平方是展开状况的时候，要学会主动去配方发现。看作点（x,0）到点（0,1）和(4,4)两点距离之和如图，在AC线段上显然最小。即取x=1时，有5.涉及圆锥曲线定义情况分析：这类题就是很典型的圆锥曲线定义这里，双曲线的右半支，即为题设。那么这里y的范围就很清晰题目也可以考x的范围，那就是6.较难的圆锥曲线思路。分析：导数自然可以尝试，换元法是有些不方便。这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法，我们这里把坐标系看作横轴x轴，纵轴p轴,，至于y就看作常数。看成两个曲线的交点第一个曲线是p=，第二条曲线是p=第一条曲线就是斜率为-

4、1的，纵截距为y的一条直线第二条曲线，进行一定化简即这事实上就是一条双曲线，只是中心是（2，0）那我们把渐近线也画出来。这里渐近线的斜率也是-1，那么对于直线p=,结合图像可知，纵截距y的范围是7.三个根号构造向量情况求最小值注意到的和是定值8的和为6那么，看作三个向量，（或者是点），画个草图最小值即为108.三个根号内部一次单调性不一致情况分析：这是一道数学竞赛题。难度颇大。首先，最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x，并且取到等号当且仅当x=9时取等号求最小值的历程比较痛苦，求导似乎可以一试这里考虑将后面两个根号合并x=0时两个根号同时取到最

5、小值9.总结解决该类带根号的函数最值问题时，一般是按以下顺序考虑（1）。单调性（2）。数形结合（3）。换元（包括三角换元）（4）。求导（5）。移项平方判别式（少用！）（6）。创新思路：分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号另外，一旦提到根式，一定不能忘记，定义域优先！根号最值问题较为麻烦，上面所述的例题不多，同学们如果要想熟练掌握，就一定要做大量的练习。