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时间:2018-02-28
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1、带根号的函数最值问题数学中,求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候,难度会加大。这里,就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。1.单调性一致情况(x∈[1,2])分析:这个函数,分成两部分。x是增的,也是增的。这个函数在定义域上单调增于是,最大值最小值就在端点时取到。2.单调性不一致的根号中一次项情况(x∈[0,1])分析:单调性不一致,首先考虑换元法令3.根号中出现二次项情况(x∈[-1,1])分析:单调性很难判断。这时候首先考虑换元法方法一:三角换元我们知道,三角函数、的范围本身就是[-1,1],代入以后可以一可以用三角公式进行运算,开阔思路
2、,二则去掉根号,简化运算。设x=,这里为了确定范围,不失一般性,设,利用1-=sin,去掉根号很方便。值域就是方法二:移项平方这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候,它是那么的吃力不讨好。两边平方注意到这里平方的条件是y≥x由于x存在,判别式大于等于0但要注意到,y≥x,于是有y≥-1方法三:求导求导属于暴力流,但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。令y’≥0解得,不过这个过程颇为艰辛于是易得4.双根号明显数形结合的情况求最小值分析:明显可以看作两点间距离公式类型。这类题难度不大。但要注意,当括号内平方是展开状况的时候,要学会主动去配方
3、发现。看作点(x,0)到点(0,1)和(4,4)两点距离之和如图,在AC线段上显然最小。即取x=1时,有5.涉及圆锥曲线定义情况分析:这类题就是很典型的圆锥曲线定义这里,双曲线的右半支,即为题设。那么这里y的范围就很清晰题目也可以考x的范围,那就是6.较难的圆锥曲线思路。分析:导数自然可以尝试,换元法是有些不方便。这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法,我们这里把坐标系看作横轴x轴,纵轴p轴,,至于y就看作常数。看成两个曲线的交点第一个曲线是p=,第二条曲线是p=第一条曲线就是斜率为-1的,纵截距为y的一条直线第二条曲线,进行一定化简即这事实上就是一条双曲线,只是中心是(2,0)那我们把渐近
4、线也画出来。这里渐近线的斜率也是-1,那么对于直线p=,结合图像可知,纵截距y的范围是7.三个根号构造向量情况求最小值注意到的和是定值8的和为6那么,看作三个向量,(或者是点),画个草图最小值即为108.三个根号内部一次单调性不一致情况分析:这是一道数学竞赛题。难度颇大。首先,最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x,并且取到等号当且仅当x=9时取等号求最小值的历程比较痛苦,求导似乎可以一试这里考虑将后面两个根号合并x=0时两个根号同时取到最小值9.总结解决该类带根号的函数最值问题时,一般是按以下顺序考虑(1)。单调性(2)。数形结合(3)。换元(包括三角换元)(4)。求导(5)。移
5、项平方判别式(少用!)(6)。创新思路:分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号另外,一旦提到根式,一定不能忘记,定义域优先!根号最值问题较为麻烦,上面所述的例题不多,同学们如果要想熟练掌握,就一定要做大量的练习。
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