9-4高等数学同济大学第六版本

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1、习题9-41.求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积.解位于柱面内的部分球面有两块,其面积是相同的.由曲面方程z=得,,于是.2.求锥面z=被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积.解由z=和z2=2x两式消z得x2+y2=2x,于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2+y2£2x.由曲面方程得,,于是.3.求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所围立体的表面积.解设A1为曲面相应于区域D:x2+y2£R2上的面积.则所求表面积为A=4A1..4.设薄片所占的

2、闭区域D如下,求均匀薄片的质心:(1)D由,x=x0,y=0所围成;解令密度为m=1.因为区域D可表示为,所以,,,所求质心为(2)D是半椭圆形闭区域;解令密度为m=1.因为闭区域D对称于y轴,所以.(椭圆的面积),,所求质心为.(3)D是介于两个圆r=acosq,r=bcosq(0

3、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求这薄片的质心.解建立坐标系,使薄片在第一象限,且直角边在坐标轴上.薄片上点(x,y)处的函数为m=x2+y2.由对称性可知.,,薄片的质心坐标为.7.利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度r=1):(1)z2=x2+y2,z=1;解由对称性可知,重心在z轴上,故.(圆锥的体积),,所求立体的质心为.(2),(A>a>0),z=0;解由对称性可知,重心在z轴上,故.(两个半球体体积的差),,所求立体的质心为.(3)z=x2+

4、y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解,,,,所以立体的重心为.8.设球体占有闭区域W={(x,y,z)

5、x2+y2+z2£2Rz},它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质心.解球体密度为r=x2+y2+z2.由对称性可知质心在z轴上,即.在球面坐标下W可表示为:,于是,,故球体的质心为.9.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下,求指定的转动惯量:(1),求Iy;解积分区域D可表示为,于是.提示:.(2)D由抛物线与直线x=2所围成,求Ix和Iy;解积分区域可表示为,于是

6、,.(3)D为矩形闭区域{(x,y)

7、0£x£a,0£y£b},求Ix和Iy.解,.10.已知均匀矩形板(面密度为常量m)的长和宽分别为b和h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解取形心为原点,取两旋转轴为坐标轴,建立坐标系.,.11.一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,

8、x

9、=a,

10、y

11、=a所围成,(1)求物体的体积;解由对称可知.(2)求物体的质心;解由对称性知..(3)求物体关于z轴的转动惯量.解.12.求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平

12、行于母线的轴的转动惯量(设密度r=1).解建立坐标系,使圆柱体的底面在xOy面上,z轴通过圆柱体的轴心.用柱面坐标计算..13.设面密度为常量m的匀质半圆环形薄片占有闭区域,求它对位于z轴上点M0(0,0,a)(a>0)处单位质量的质点的引力F.解引力F=(Fx,Fy,Fz),由对称性,Fy=0,而,.14.设均匀柱体密度为r,占有闭区域W={(x,y,z)

13、x2+y2£R2,0£z£h},求它对于位于点M0(0,0,a)(a>h)处单位质量的质点的引力.解由柱体的对称性可知,沿x轴与y轴方向的分力互相抵消,故Fx=

14、Fy=0,而.