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《10-6高等数学同济大学第六版本》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、10-61.利用高斯公式计算曲面积分:(1),其中S为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧;解由高斯公式原式(这里用了对称性).(2),其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧;解由高斯公式原式.(3),其中S为上半球体x2+y2£a2,的表面外侧;解由高斯公式原式.(4)其中S界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2£9的整个表面的外侧;解由高斯公式原式.(5),其中S为平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立体的全表面的外侧.解由高斯公式原式.2.
2、求下列向量A穿过曲面S流向指定侧的通量:(1)A=yzi+xzj+xyk,S为圆柱x+y2£a2(0£z£h)的全表面,流向外侧;解P=yz,Q=xz,R=xy,.(2)A=(2x-z)i+x2yj-xz2k,S为立方体0£x£a,0£y£a,0£z£a,的全表面,流向外侧;解P=2x-z,Q=x2y,R=-xz2,.(3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k,S是以点(3,-1,2)为球心,半径R=3的球面,流向外侧.解P=2x+3z,Q=-(xz+y),R=y2+2z,.3.求下列向量A
3、的散度:(1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy)k;解P=x2+yz,Q=y2+xz,R=-z2+xy,.(2)A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k;解P=exy,Q=cos(xy),R=cos(xz2),.(3)A=y2zi+xyj+xzk;解P=y2,Q=xy,R=xz,.4.设u(x,y,z)、v(x,y,z)是两个定义在闭区域W上的具有二阶连续偏导数的函数,,依次表示u(x,y,z)、v(x,y,z)沿S的外法线方向的方向导数.证明,其中S是空间闭区间W的整个边界曲面
4、,这个公式叫作林第二公式.证明由第一格林公式(见书中例3)知,.将上面两个式子相减,即得.5.利用高斯公式推证阿基米德原理:浸没在液体中所受液体的压力的合力(即浮力)的方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体的重力.证明取液面为xOy面,z轴沿铅直向下,设液体的密度为r,在物体表面S上取元素dS上一点,并设S在点(x,y,z)处的外法线的方向余弦为cosa,cosb,cosg,则dS所受液体的压力在坐标轴x,y,z上的分量分别为-rzcosadS,-rzcosbdS,-rzcosgdS,S所受的压力利用高斯公
5、式进行计算得,,,其中
6、W
7、为物体的体积.因此在液体中的物体所受液体的压力的合力,其方向铅直向上,大小等于这物体所排开的液体所受的重力,即阿基米德原理得证.
