高等数学同济大学第六版本.doc

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1、习题1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x®0时,a(x)=2x,b(x)=3x都是无穷小,但,不是无穷小.2.根据定义证明:(1)当x®3时为无穷小;(2)当x®0时为无穷小.证明(1)当x¹3时.因为"e>0,$d=e,当0<

2、x-3

3、0,$d=e,当0<

4、x-0

5、

6、y

7、>104？证明分析,要使

8、y

9、>M,只须,即.证明因为"M>0,$,使当0<

10、

11、x-0

12、

13、y

14、>104.4.求下列极限并说明理由:(1);(2).解(1)因为,而当x®¥时是无穷小,所以.(2)因为(x¹1),而当x®0时x为无穷小,所以.5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f(x)®Af(x)®¥f(x)®+¥f(x)®-¥x®x0"e>0,$d>0,使当0<

15、x-x0

16、

17、f(x)-A

18、0,$X>0,使当

19、x

20、>X时,有恒

21、f(x)

22、>M.x®+¥x®-¥解f(x)®Af(x)®¥f(x)®+¥f(x)®-¥x

23、®x0"e>0,$d>0,使当0<

24、x-x0

25、

26、f(x)-A

27、0,$d>0,使当0<

28、x-x0

29、

30、f(x)

31、>M."M>0,$d>0,使当0<

32、x-x0

33、M."M>0,$d>0,使当0<

34、x-x0

35、0,$d>0,使当0

36、f(x)-A

37、0,$d>0,使当0

38、f(x)

39、>M."M>0,$d>0,使当0M."M>0,$d>0,使当0

40、®x0-"e>0,$d>0,使当0

41、f(x)-A

42、0,$d>0,使当0

43、f(x)

44、>M."M>0,$d>0,使当0M."M>0,$d>0,使当00,$X>0,使当

45、x

46、>X时,有恒

47、f(x)-A

48、0,$X>0,使当

49、x

50、>X时,有恒

51、f(x)

52、>M."e>0,$X>0,使当

53、x

54、>X时,有恒f(x)>M."e>0,$X>0,使当

55、x

56、>X时,有恒f(x)<-M.x®+¥"e>0,$X>0,使当x>X时,有

57、恒

58、f(x)-A

59、0,$X>0,使当x>X时,有恒

60、f(x)

61、>M."e>0,$X>0,使当x>X时,有恒f(x)>M."e>0,$X>0,使当x>X时,有恒f(x)<-M.x®-¥"e>0,$X>0,使当x<-X时,有恒

62、f(x)-A

63、0,$X>0,使当x<-X时,有恒

64、f(x)

65、>M."e>0,$X>0,使当x<-X时,有恒f(x)>M."e>0,$X>0,使当x<-X时,有恒f(x)<-M.6.函数y=xcosx在(-¥,+¥)内是否有界？这个函数是否为当x®+¥时的无穷大？为什么？解函数y=xcosx在(-¥,+¥)内无

66、界.这是因为"M>0,在(-¥,+¥)内总能找到这样的x,使得

67、y(x)

68、>M.例如y(2kp)=2kpcos2kp=2kp(k=0,1,2,×××),当k充分大时,就有

69、y(2kp)

70、>M.当x®+¥时,函数y=xcosx不是无穷大.这是因为"M>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有

71、y(x)

72、>M.例如(k=0,1,2,×××),对任何大的N,当k充分大时,总有,但

73、y(x)

74、=00,在(0,1]中总可以找到点x

75、k,使y(xk)>M.例如当(k=0,1,2,×××)时,有,当k充分大时,y(xk)>M.当x®0+时,函数不是无穷大.这是因为"M>0,对所有的d>0,总可以找到这样的点xk,使0