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1、习题8-71.求函数z=x2+y2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点的方向的方向导数.解因为从点(1,2)到点的向量为,故.又因为,,故所求方向导数为.2.求函数z=ln(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处,沿这抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数.解方程y2=4x两边对x求导得2yy¢=4,解得.在抛物线y2=4x上点(1,2)处,切线的斜率为y¢(1)=1,切向量为l=(1,1),单位切向量为.又因为,,故所求方向导数为.3.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数.解令,则,.
2、从而点(x,y)处的法向量为.在处的内法向量为,单位内法向量为.又因为,,所以.4.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向角为,,的方向的方向导数.解因为方向向量为,又因为,,,所以.5.求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解因为l=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12),,并且,,,所以.6.求函数u=x2+y2+z2在曲线x=t,y=t2,z=t3上点(1,1,1)处,沿曲线在该点的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导
3、.解曲线x=t,y=t2,z=t3上点(1,1,1)对应的参数为t=1,在点(1,1,1)的切线正向为,,又,,,所以.7.求函数u=x+y+z在球面x2+y2+z2=1上点(x0,y0,z0)处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-1,则球面x2+y2+z2=1在点(x0,y0,z0)处的外法向量为,,又,所以.8.设f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z,求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1).解,,.因为,,,,,,所以gra
4、df(0,0,0)=3i-2j-6k,gradf(1,1,1)=6i+3j.9.设u,v都是x,y,z的函数,u,v的各偏导数都存在且连续,证明(1)grad(u+v)=gradu+gradv;解.(2)grad(uv)=vgradu+ugradv;解=vgradu+ugradv.(3)grad(u2)=2ugradu.解.10.问函数u=xy2z在点p(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大?并求此方向导数的最大值.解,.gradu(1,-1,2)为方向导数最大的方向,最大方向导数为.
