有限循环群同态的结构研究

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1、万方数据2010年8月第16卷第3期安庆、师范学院学报(自然科学版)JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScienceEdition)Aug．2010V01．16№．3有限循环群同态的结构研究屈寅春(无锡职业技术学院，江苏无锡214073)擒薹：本文利用抽象代数的基本理论，结合初等数论的有关知识，对两个有限循环群之间存在的所有同态映射进行了分类研究，给出并证明了计算其总数的一个数学公式。关毽词：有限循环群i生成元；群同态基本定理；拉格朗日定理，欧拉函数中图分类号：0152．1文献标识码：A文章编号：1007—4260(201

2、0)03--0029一030引言同态映射是研究群关系的重要工具，是群论的基本概念。对任意给定的两个循环群，它们之间却不一定存在非零的同态映射。一个自然的问题是：什么条件下，两个循环群之间存在非零同态映射?进一步，能否求出它们之间所有的非零同态映射，并作出具体分类?本文对有限循环群之间的非零同态映射做了研究，结合初等数论的有关知识，证明了下述定理：定理设G，G7是有限循环群，iGl一样，IG7I=优，(优，疗)一k，有下述结论成立：(Dk=1，则G与G7问有且仅有一个群同态映射，即零同态映射。(2)最≠1，令k的唯一素因子分解式为夕}户争⋯户}(夕i是互不相同的素数

3、，z；≥1)，设G到G7所有同态映射共P(G，G7)个，则：以c，G，，=耋耋⋯耋计户扣俄n一∥111(卜瓦1),2-．-(1--去)f，，其中屯一{O。厄,fi≥=000，。l，一h—I—O，l，z，f11’Zf多11基本概念有限循环群；设G是一个群，口∈G，若对Vb∈G，j行∈Z，使b=口”，则称G是由口生成的循环群，记作：G一(a)，若G是有限阶的，则称G是有限阶循环群。群同态定义：设G与G7都是群，，是G到G7的映射，若，保持运算，即：f(xy)=厂(z)，(y)，Vz，Y∈G，则称厂是G到G7的同态映射。群同态基本定理：，是群G到群G7的同态映射，则：(

4、1)Imf≤G，，Kerf

5、业技术学院讲师．硕士，主要研究方向：群论、环论与表示。万方数据·30·安庆师范学院学报(自然科学版)2010年若H≠{e)，则jo≠优∈N，使P≠口”∈H，从而M={志∈Na‘∈H)是一个非空集合。令r是M中的最小正整数，则对Va”∈H，可设m=rq+t，0≤t

6、(口亍)，令T(竹)为以的所有正因数的个数，则G恰有T(7z)个子群‘3l。证明设G=(口)是n阶循环群，是是行的正因数，所以愚In，可设n=幻，则I矿I=忌，从而(口a)是G的五阶子群。又设H也是G的一个矗阶子群，则由引理1，H也是循环群，可设H=(口“)，且Ia“l=忌，又a”的阶为忐，从而杰=忌，即：仃=忌·(，l，m)，又九=幻，得：g=(咒，m)，qIm，于是口”∈(口。)，从而L砣，m，L行’mJ。一a”互(口a)。又因为(口“)与(口a)的阶都是愚，故(口”)=(aq)，即G的五阶子群是唯一的。如上，对竹的每个正因数志，G有且仅有一个五阶子群，又据引

7、理1，G的子群的阶必是咒的正因数，所以G恰有T(以)个子群，其中T(咒)为行的所有正因数的个数。引理3设G，G7是有限阶循环群，IGI=疗，IG7I=优，则存在G到G7的群满同态甘辨I行。证明设G一(口)，G7=(6)，P，e7分别是G和G7的单位元，则a”=e，6m=e’。“净”设，是G到G7的的群满同态映射，则Imf—G7，据群同态基本定理，有G／Kerf兰G7，于是G7IlGI，即：mI行。“仁”定义f：G—G7，口‘卜6f，t∈N。下证，是G到G7的群满同态映射。首先，证明，定义的合理性。对V矿，ay∈(口)，若a2=ax，则口’，=e，挖I(z—y)，又

8、mn，得m