代数结构同态的方法及应用

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1、代数结构同态的方法及应用摘要本文简要介绍了群论的相关概念，其中主要介绍了群的概念、子群的概念、和不变子群的概念以及子群的判别方法和不变子群的判别方法。重点介绍了群同态概念、群同态的基本定理以及群同态基本定理的运用。利用子群、不变子群以及群同态基本定理推出一系列与同态基本定理相关定理。是同态基本定理的延伸和运用，对群论和群同态的后续研究起到了非常重要的作用。最后通过一系列典型例子进一步讨论了群同态基本定理的运用。关键字：群；子群；不变子群；群同态AlgebraicstructureanditsapplicationwiththestateAbstractThisp

2、aperintroducestheconceptsofgrouptheorywhichintroducesthegroupconcept,theconceptofsubgroups,andtheconceptofinvariantsubgroupsandsub-groupdiscriminationmethodandthesamesub-groupdiscriminationmethod.Focusesontheconceptofgrouphomomorphisms,groups,andthefundamentaltheoremofhomomorphismsof

3、thefundamentalgroupoftheapplication.Useofsubgroups,invariantsubgroup,andthefundamentaltheoremofgroupslaunchedaseriesofcorrelationofthefundamentaltheorems.Isthefundamentaltheoremoftheextensionandapplicationofgrouptheoryandgroupfollow-upstudywiththestateplayedaveryimportantrole.Finally

4、,atypicalexampleofagrouptofurtherdiscusstheapplicationofthefundamental.Keywords：group;subgroup;invariantsubgroup;grouphomomorphism目录第一章绪论41.1引言4第二章群论的基本概念52.1群的概念52.2子群、不变子群的判别方法72.3同态的概念及基本定理8第三章同态基本定理的运用93.1同态的相关定理93.2同态同态基本定理的运用13结论19致谢20参考文献21附录X译文22附录Y外文原文25第一章绪论1.1引言代数结构主要有群、环、

5、域、模等。这些概念大多都是在十九世纪产生的，如群的概念是19世纪30年代由法国青年数学家Galois首先提出的，他在解决用根式求解五次方程时发现了群。他不仅彻底地解决了一元n次方程用根式求解是否可能的问题，而且也使人们认识到除了数集外，在其他集合上也可能存在着代数结构，即满足一定规则的运算，而这种代数结构正是群论。群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结

6、构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构（G1/kerf≌G2）！在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些

7、关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。第二章群论的基本概念2.1群的概念定义一：　设G是一个非空集合，是它的一个代数运算，如果满足以下条件：　　1.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(ab)c=a(bc)；　　2.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有ea=a；　　3.对G中每个元素a在G中都有元素啊a，叫做a的左逆元，使aa=e；则称G对代数运算做成一个群。定义二：一个有单位元的半群（G）叫做一个群，如果G的每个元皆为正则元。定义三：如果一个半群（G）有一个左单位元e使ea=a,存在并且，对每一有左逆元，则是

8、一个群定义四：如果（G）