循环群群的结构信息安全数学

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1、第三章循环群、群的结构第三章循环群、群的结构3.1循环群（重要）3.2剩余类群（掌握）3.3子群的陪集（掌握）3.4正规子群、商群（重要）3.1循环群定义3.1.1如果一个群G里的元素都是某一个元素g的幂，则G称为循环群，g称为G的一个生成元．由g生成的循环群记为(g)．无限循环群可表示为：{…，g2，g1，g0，g1，g2，…}，其中g0=e．有限n阶循环群可表示为：{g0，g1，g2，…，gn1}，其中g0=e3.1循环群例3.1.1整数加法群Z是一个循环群．1是生成元，每一个元素都是1的“幂”．这里再次说明我们讨论的群里“乘法”是抽象的，只代

2、表一种代数运算．在整数加群中，“乘法”就是普通加法，那么“幂”就是一个元素的连加，例如1m＝m=，1m＝m=．而且规定0=10，即0为0个1相加．循环群简单性质由n阶循环群中gn=e，我们可以得到：设i，j是任意整数，1）如果ij(modn)，则gi=gj．2）gi的逆元gi=gni．3）是交换群4）gn=e元素的阶及其性质a是n阶元素，则序列a0（=e），a1，a2，…，an1两两不相同，而且a的一切幂都包含在这个序列中。证明：（反证法）如果ai=aj，0jin1，则aij=e，而0ijn1，这与a是n阶元素矛盾．对于任意

3、整数m，am都包含在上面的序列中．m可表示为：m=qn+r，0rn，于是am=aqn+r=(aq)nar=ar，因为ar在上面的序列中，则am也在上面的序列中元素的阶及其性质定理3.1.1一个群G的任意元素a都能生成一个循环群，它是G的子群．如果a是无限阶元素，则a生成无限循环群；如果a是n阶元素，则a生成n阶循环群．证明设a的幂集合为S．1）a是无限阶元素情形．对于任意ai，ajS(i，j=0，1，2，…)，有ai(aj)1=aijS，由定理2.2.2，S是G的子群．2）a是n阶元素情形．对于任意ai，ajS(i，j=0，1，2，

4、…)，有aiaj=ai+jS，由定理2.2.3，S是G的子群．显然S是a生成的循环群．定理证毕．显然无限循环群的元素都是无限阶元素．有限循环群生成元的阶就是群的阶．元素的阶及其性质定理3.1.2对于n阶元素a有1）ai=e，当且仅当ni．2）ak的阶为．证明n阶元素a生成n阶循环群：{a0=e，a1，a2，…，an1}．1）由于ni，则i0(modn)，于是ai=a0=e．反之，由i=qn+r，0rn，得ai=aqn+r=(an)qar=ear=ar=e，而n是使ak=e的最小正整数，所以r=0，故ni．元素的阶及其性质2）设l=．由于(

5、k，n)k，则于是由1）有(ak)l=akl=e．而如果(ak)i=aki=e，则nki，因为所以故是使(ak)i=e，成立的最小正整数．证毕．元素的阶及其性质由定理3.1.2我们可以直接得出推论由元素g生成的n阶循环群G中任意元素gk(0kn1)的阶为，当k，n互素时，gk的阶为n，也是G的生成元．例3.1.28阶循环群各个元素的阶分别为：g0：1，g：8，g2：4，g3：8，g4：2，g5：8，g6：4，g7：8．其中共有4个生成元g，g3，g5，g7．整数集合{0，1，2，…，n1}中与n互素的数有(n)个（(n)—欧拉函数，以后我

6、们还要深入讨论），因此n阶循环群共有(n)个n阶元素或(n)个生成元．循环群与其子群定理3.1.31）循环群的子群是循环群，它或者仅由单位元构成，或者由子群中具有最小正指数的元素生成，即生成元为具有最小正指数的元素；2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群；3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子，且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶子群．循环群与其子群证明1）设H是循环群(g)的一个子群．假设H＝{e}，H自然是循环群．假设H{e}，则有i0使giH，又因为gi=(gi)1H，所以可以假定i0，说明有正指数存在．设s是H中的最

7、小正指数，即s是使gsH的最小正整数，我们现在证明H=(gs)．对于任意gmH，有m=qs+t，0ts，由于gqs=(gs)qH（子群H的封闭性，q个gs连乘也属于H），所以gt=gm(gqs)1H，（gqs存在逆元，且由于封闭性，gm，(gqs)1乘积属于H．）由于s是使gsH的最小正整数，因此得t=0，gm＝(gs)q．H的任意元素都是gs的幂，则H=(gs)．循环群与其子群证明2）当(g)是无限循环群时，如果nm，则gngm，于是gms(m=0，1，2，…)两两不同，H是无限循环群．证明3）假设(g)是n阶循环群，由于n=

8、qs+t，0ts，则e=gn=gqs+t，于是gt=(gqs)1H，s的