对一道中测习题解题方法的探讨及评析

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1、对一道中考试题解题方法的探讨及评析摘要：作为一道探究性几何题,考点全面,涉及到初中数学重要内容.本题以直角三角形为载体,综合了中点、垂直、相似、比例线段、解方程等主要知识.在数学思想方法方面,考查了数形结合、特殊与一般辨证思想、转化等数学思想和利用平行构造相似、利用线段之间的数量关系构造方程的解题方法.关键词：平行线分线段成比例定理的运用、构造三角形相似的比例线段、转化思想武汉市中考调研考试中有这样一道试题:如图1，已知等腰Rt,,,为边上一动点,,于点,延长交于点.(1)若,则,;(2)若,求证;(3)当,为的中点.1.解题思路分析本题第（1）问设计了两个填空，都是求两线段的比

2、值，一个是同一个直角三角形两直角边的比,另一个是同一条直线上的两线段的比.与是的两直角边，运用射影定理将转化成求的值,可以看作,易求出其值为9.第(2)问给出的点位置更特殊,求证的结论也很简洁、常见，如果不添加辅助线,无法从现有的已知条件推导出结论,找到添加辅助线的方法就找到解题突破口，从条件的特殊性和结论形式分析,至少有三种思路，其一，当时说明点是线段的中点，由中点可以联想到常规的辅助线：如倍长中线、作中位线等；其二,将线段看作的两倍关系,由线段的倍分关系联想到截长补短的构造三角形全等的方法,当然本问题用此方法不易证明结论;其三,将形式看成的形式,由线段的比例关系联想到构造相似

3、三角形.第(3)问的设置实质上与第(2)问是互逆的,其解决方法可以选取解决第(2)的方法,为便于解答,引进参数无疑是一种好的方法,设,则,依据所构造的相似三角形的对应边之间的比例关系,可以建立方程求出的值.2.解题方法探讨第(2)问的证明方法很多,笔者进行了探讨、分类、归纳,现枚举一些,如下:2.1构造相似三角形法2.1.1构造相似三角形，使所求(证)的两条线段为对应边，即:确定一边所在的三角形，然后构造另一边为对应边的三角形与之相似证法一：先确定所在的，构造以为边的三角形与相似.过点作∥,交的延长线于点,得∽,∴,又∵,∴,由∽得，即.证法二：先确定所在的，构造以为边的三角形与

4、相似.过点作∥,交的延长线于点,连结.由(1)问中得到,∴,又,∴∽,∴,∴∴∴.[故得结论…(*)]∵∥,∴,又,∴∽,∴,又,∴∽,∴,∴,∴在中,,又,∴.又∵∽,∴，即.证法三：先确定所在的，构造以为边的三角形与相似.过点作∥,交的延长线于点,连结.则∽,∽,∴,,又,∴,即.证法四：先确定所在的，构造以为边的三角形与相似.过点作∥,交的延长线于点,连结.∴,又由证法二中得出的(*)结论,可得,∴,又∵,∴又∵∥,∴∽,∴,即.2.1.2构造相似三角形，将其中一条线段用相等线段进行转化，求出转化后的两线段的比就得到要求的两线段的比证法五：过点作,交于点,连结，易得∽,∴.

5、与有公共的斜边,故点、均在以中点为圆心，以长为半径的圆上，∴，由(*)结论，∴，∴.∴,即.2.1.3构造相似三角形，借助中间过渡线段，分别求两条线段与中间线段的关系证法六:过点作∥,交于点.∴∽,∴,即,又∽,∴,即,∴.证法七:过点作∥,交于点.易得,,,∴,由∵∽∴,即,由∵∽,∴,即,∴,∴.证法八:过点作∥,交的延长线于点.易得,∽,∽,∴,,即,,∴,∴,即.2.1.4通过作平行线构造相似,将要求的两线段的比直接转化为同一直线上的两线段的比证法九:过点作∥,交于点.由(*)结论，∴，∴.又由∽,∴,∴,∴,即.证法十:过点作∥,交的延长线于点.易得,≌,∴,而,∴∵∽

6、,∴,即.2.1.5利用线段之间和差、倍分关系构造相似三角形，先求另外两线段的比，再转化成要求的两线段之比证法十一:过点作∥,交于点.易得,∽,∴,∴,∵∽,∴,∴,即.2.2面积法证法十二：由证法二的[*]结论有，过点作，，垂足分别为、，∴，设点到的距离为，则，化简得，易证，故，即.2.3解析法证法十三：如图,以点为原点,分别以、所在的直线为坐标轴建立直角坐标系,不妨设,则点,,,可求得直线解析式:,直线解析式:,解方程组得点坐标,可求得直线的解析式为,可求得点坐标,故,∴.2.4杠杆平衡原理法所谓杠杆平衡原理即为：“动力×动力臂=阻力×阻力臂”.应用杠杆平衡原理解几何线段比值

7、问题，关键在于可将图形中的各个交点视为受力点，从而可利用两个同向平行力的法则“合力的大小等于两个分力的和，合分力对于以合力作用点为支点的合力矩等于零”，即如右图：利用，，或来解题.证法十四：观察系统,若在点挂牛,则由于,所以需在点挂牛,这样系统就能达到平衡状态,此时点受力就为2牛.观察系统,以点为支点,因为点受力2牛,,所以需在点受力0.5牛,这样系统就能达到平衡状态,此时点支点受力应为牛.观察系统,由于点受力牛,点受力0.5牛,所以有,即.3.试题评析从试题的编拟与设计来看，体