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1、正弦、余弦的诱导公式【重点难点解析】1.把握诱导公式的导出，关键要搞清180°+α，-α，180°-α，360°-α的终边与α的终边的关系.2.关于诱导公式的使用条件应注意把α看做锐角，即它无论是否为锐角，公式都是成立的.【命题趋势分析】在历届高考试题中，本节内容一般以选择题、填空题形式出现，属基本题，比较容易；本部分内容经常结合到其它知识中去进行综合应用核心知识【基础知识精讲】 诱导公式：k·360°+α(k∈Z),-α,180°±α,360°-α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上把α看作锐角时(无论α是什么角，都“看作”锐角，如cos(180°
2、+110°)=-cos110°)原函数值相应象限的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.利用上述五组诱导公式，可以把任意角的三角函数值化为锐角三角函数值，其一般步骤为：任意负角的三角函数相应正角的三角函数0°～360°角的三角函数锐角三角函数三角函数值，亦可概括为“负角化正角”→“大角化小角”→“查表求值”.通过诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，培养学生化归思想的应用意识.通过利用单位圆推导诱导公式，培养学生运用数形结合的数学思想化抽象为直观的意识.典型例题例1 求值tan(-)sin(-π)-costan.分析训练学生正确运用诱导公式求任意角
3、三角函数值能力，直接运用诱导公式.解：原式=tansin-costan=tan(4π+)sin(14π+)-cos(6π+)tan(9π+)=tansin-costan=tan(2π-)sin(π+)-sin=tansin-=·-=0评析 本例难点在正确的运用和多次运用诱导公式，着重训练学生恒等变形能力. 例2 (1)求证tan(π+α)=tanα；(2)化简.分析 利用公式二和商数关系即可使(1)获证.(2)可用诱导公式及(1)化简，亦可将tan(π+α)化为后再化简.解：(1)∵tan(π+α)= ==tanα,故等式成立.(2)原式===cos3α
4、例3 已知sin(π-α)cos(-8π-α)=,且α∈(，)，试求sinα,cosα的值.分析 欲求sinα和cosα的值，可以考虑建立关于sinα与cosα的方程组.注意到已知条件可以化为sinα和cosα的一个方程，再结合平方关系式即可使问题获解.解： 已知条件可化为2sinαcosα=……①∵sin2α+cos2α=1……②①+②得(sinα+cosα)2=……③②-①得(sinα-cosα)2=……④∵＜α＜∴sinα＞cosα＞0，即sinα-cosα＞0故sinα+cosα=……⑤sinα-cosα=……⑥⑤+⑥得sinα=⑤-⑥得cosα=
5、 评析 本例中虽然可直接解①与②联立的关于sinα和cosα的二元二次方程组，但较麻烦，易出错，是本例的难点之一，而将①与②转化为③与④后，开方时的符号确定容易被学生忽略条件，此乃本例难点之二.正确的转化为⑤与⑥后问题便迎刃而解.本例着重训练了学生三角变换的能力，培养了学生运用方程思想解决整体未知量的数学思想.一般地：sinα·cosα与sinα±cosα具有关系：sinαcosα==. 例4 比较大小：sin,cos,-cos.解：sin=cos,cos=cos-cos=cos.因为0＜＜＜＜π，而cosx在(0,π)上为减函数，故cos＜sin＜-co
6、s.说明：比较异名函数值的大小，须化为同名后，再在同一单调区间进行比较.三角函数的单调性以后将学到. 例4 化简cos(π+α)+cos(π-α)n∈Z.分析 正确运用逻辑划分思想分情形求解，此题应对n分奇偶数求解.解 原式=cos［nπ+(+α)］+cos［nπ-(+α)］当n为偶数，即n=2k,k∈Z时.原式=cos(+α)+cos［-(+α)］=2cos(+α).当n为奇数，即n=2k+1,k∈Z时.原式=cos［2kπ+π+(+α)］+cos［2kπ+π-(+α)］=cos［π+(+α)］+cos［π-(+α)］=-2cos(+α)故原式=2cos
7、(+α) n为偶数-2cos(+α) n为奇数 例6已知sin(3π-α)= cos(+β),cos(-α)=- cos(π+β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α与β.分析 欲求角α与β，应知道α与β的某种三角函数值及角的范围，而这只须建立并解关于α和β的某种三角函数的方程组即可，利用诱导公式和已知条件这是具备的.解：由sin(3π-α)=cos(+β)得sinα=sinβ……①由cos(-α)=- cos(π+β)可得cosα=cosβ……②①2+②2得sin2α+3cos2α=2,即cos2α=∴cosα=±当cosα=,即α=时,cosβ
8、=,而α,β∈(0,π)∴β=当cosα=-时，α=,sinβ=,
