“充分条件”、“必要条件”辨析

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1、“充分条件”、“必要条件”辨析  “充要条件”是重要的数学概念,既是教学重点,也是学习难点,实际应用中常常混淆“充分条件”、“必要条件”这两个不同的概念.以下从四个方面帮助学生辨析.  一、“充分条件”之“充分”是足够的意思      =0”.因此,“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分条件.换句话说,要使“x2-2x-3=0”成立,有“x=3”这个条件就足够了.同理,“x=-1”也是“x2-2x-3=0”的充分条件.再如“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件,“α=2kπ+β(k∈Z)”也是“sinα=sinβ”的充分条件.这就告诉我们,“充分条件”不唯一,但它们都是使“结论”成立

2、的条件.就好比“一元钱”是购买“一张平信邮票”的充分条件一样,足够就行.“

3、x

4、=5”不是“x-5=0”的充分条件(

5、x

6、=5时,x可能是-5,这样

7、x

8、=5不足以使x-5=0成立).  二、“必要条件”之“必要”含有必不可少之意      要条件.  我们何以能把“x2-2x-3=0”这个由“x=3”推出的必然结果,称之为“x    中,如果二次三项式x2-2x-3不等于零,那么x就不能是3.因此,“x2-2x-3=0”是“x=3”的必不可少的条件,即必要条件.再如定理“若四边形为正方形,则其四边相等”中,“四边相等”是“四边形为正方形”必不可少的条件(否则,不是四边相等的四边形,一定不是

9、正方形),即必要条件.这就好比人家告诉你:“你要买的书是红皮的,”那么,你在书店里就会选择,凡不是红皮书,就不是我要买的书.由此可见,“必要条件”确具有“必不可少”的含义.但是,“必不可少”并不意味“足够”(难道红皮书都是你要买的吗?).  三、数学术语中的“必要条件”与日常生活中用语“有必要”、“是必要的”等一类词是截然不同的.  不能把生活中用语混同数学用语,否则总分不清“充分条件”、“必要条件”.如上例中,“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分条件,但“x=3”不是“x2-2x-3=0”的必要条件,为什么呢?因为x≠3时,x2-2x-3=0照样可以成立(只要x=-1即可).也就是说,

10、“x=3”并不是“x2-2x-3=0”成立的必不可少的条件.而有些同学则认为:“x=3不是x2-2x-3=0所必要的吗?”生活用语与数学术语混淆了.另外,书写不规范也有可能导致错误理解,如有人写:“∵x2-2x-3=0,∴(x-3)(x+1)=0,    么能说“x=3不是x2-2x-3=0的必要条件”呢?其实,由x2-2x-3=0解得x=3或    四、“充分条件”、“必要条件”同一于原、逆命题皆真的命题之中.  从“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件,“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件,我们看到,必要条件不是充分条件.同样,“x=3”是“x2-2x-3=0”的充分条件,但

11、不是必要条件.但在有些命题中,一个条件既是另一个条件的必要条件,也是充分条件,如“有两个角相等”是“等腰三角形”的充分条件,同时也是必    B的必要条件.一般地,原命题、逆命题均为真命题的命题,其条件必为充要条件.    w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com

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