投票选举中的数学悖论

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1、投票选举中的数学悖论引言生活实例——实在不想吃这个投票选举悖论简单多数制(plurality)两轮选举制(runoff）波达计数法（Bordacount）选举制评价——阿罗定理（Arrow’sTheorem）2008级物理学林文霞引言“少数服从多数”是我们经常说的一句话，小到一群人去哪里吃饭、学校班干部选举，大到国家政策的决定、某些国家的议员选举，通常都是遵照这条规则行事。然而，如果从数学的角度分析这种“多数决定”的规则，我们就会发现，按照这种规则做出的决定也有可能不是“最佳”决定，甚至可能是“最差”决定。实在不想吃这个举个例子。办公室7个人，打电话到外面定快餐，只能共同选择一种食品。可选择的

2、食品有3种：蛋炒饭、盖浇饭和面条。7个人想吃的食品排名顺序各不相同。比如说，A先生想吃的是“蛋炒饭>盖浇饭>面条”。F先生想吃的相反，是“面条>盖浇饭>蛋炒饭”。1表示最想吃的，2其次，3最不喜欢A先生负责汇总意见，根据多数人最想食品订餐。收集到的意见是，最想吃蛋炒饭3人，最想吃盖浇饭或者面条的各有2人。于是按照“多数决定”订了蛋炒饭。但是A先生深入听取了他们的意见后发现：原来，最想吃盖浇饭或面条的那4个人最不喜欢吃的就是盖浇饭！现在换一种思路：假定可选择的食品只有两种，每个人只能二选一。在只有“蛋炒饭和盖浇饭”可供选择时，分析7个人的意见，结果是3对4，盖浇饭获胜；在只有“盖浇饭和面条”可供

3、选择时，盖浇饭获胜；在只有“面条和蛋炒饭”可供选择时，面条获胜。这样分析起来，想吃盖浇饭的人最多，最后要定的应是盖浇饭。另外，还会出现相对立的结论——如果问七个人最不想吃的午餐是什么，结果恰好是蛋炒饭（占4票）。因此，投票中即使每个人都做出了他认为是最合理的选择，投票结果也有可能是不合理的，这种现象被称为是“投票悖谬”。早在18世纪，法国的数学家和政治家孔多赛（1747-1794）就揭示了投票所具有的这种奇怪的性质。并且将一对一比较得到的由多数人选择的那个选项（盖浇饭）叫做“孔多赛胜者”。另外，还会出现这样的一种“投票悖谬”：假定有三个人ABC，他们对三种食物的喜欢顺序分别是A:蛋炒饭>盖浇饭

4、>面条B:盖浇饭>面条>蛋炒饭C:面条>蛋炒饭>盖浇饭这种情况下投票特别分散，无法决出最后胜负（孔多赛胜者）。在这种情况下，每个投票者都做出自己的合理判断，但结果却是不合理的（无法做出决定）。不同选举制不同结果假定有一个百人社会，分成左中右三派，各派出一个候选人。三派选民的分布如下：　　左派：４０，同时亲中反右　　中派：２５，同时亲右反左　　右派：３５，同时亲中反左简单多数制（plurality）如果采用简单多数制，则左派胜。于是中派右派大呼上当，我们可是有６０％的选民最讨厌左派！民主制度下怎么能让多数人都最反对的人当选呢？左派：４０，同时亲中反右中派：２５，同时亲右反左右派：３５，同时

5、亲中反左两轮选举制（runoff）两轮选举制是指在选举出唯一的候选人时，如果某选举中没有任何一个人获得绝大多数的选票，那么选票最多的两个候选人进入下一轮选举，被选举人不得投票。由于中间派只有２５％，第一轮被淘汰。但是由于中派亲右，于是右派在第二轮以６０：４０击败左派当选。左派：４０，同时亲中反右中派：２５，同时亲右反左右派：３５，同时亲中反左两轮选举制（runoff）这个结果够不够民主呢？这种选举制好不好呢？右派怎么说也只代表了３５％的选民。而且，左派实际上可以操纵选举结果。对于左派来说，右派当选是下下之策。由于胜算渺茫，其最佳策略是在第一轮忍痛割爱，把票投给中派，造成中派当选的最终结局。而在

6、第二轮中与中派竞争。这种鼓励做票的选举制度显然太黑暗了。波达计数法（Bordacount）波达计数法是按照喜好排列候选者，进行打分。左派（４０人）：给老左３分，老中２分，老右１分中派（２５人）：给老左１分，老中３分，老右２分右派（３５人）：给老左１分，老中２分，老右３分总计：老左：４０x３＋２５x１＋３５x１＝１８０分老中：４０x２＋２５x３＋３５x２＝２２５分老右：４０x１＋２５x２＋３５x３＝１９５分于是老中当选。可是，老中是三派中的最少数派。在民主制度下怎么能让最少数派的代理人当选呢？选举制评价——阿罗定理不存在完美的选举制！阿罗定理Arrow’stheorem,又叫做不可能定

7、理，是由肯尼思·阿罗（KennethJ·Arrow）【1972年诺贝尔经济学奖获得者】提出的一种社会选择理论。阿罗定理的含义是：满足所有合理条件的社会选择机制是不存在的。阿罗的最终结论是：只要搞民主选举，不论用什么选举法，在数学上都无法避免选民（即多数人）不满意的候选人当选。或者，从数学上避免困境的“选举”方式只有一个：独裁，即非民主选举。因此，不存在完美的选举制。阿罗定理个体的偏好排序满足下列要