数学建模小圆在大圆内无滑动滚动的轨迹

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1、-----小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨学院：电信学院班级：微电子12姓名：学号：2110503028--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨一：实验目的数学中有许多方程是由日常生活中得来的，如抛物线、摆线、螺旋线等等，这些都可以归结为轨迹问题，本实验探讨的是小圆在大圆内滚动的轨迹，有助于加深对轨迹问题的认识，同时增强建模能力和实验编程能力。二：实验问题设一个小圆在大圆内无滑动的滚动，编程探讨小圆上一点的运动轨迹。三：建立模型设大圆的半径为R，小圆的半径为r，小圆上定点为A，小圆内切于大圆并沿大圆滚动，因为无滑动，

2、可得到一重要条件，两段弧，∠BOC=，小圆圆心坐标:（（R-r）cos,（R-r）sin）弧ＢＣ＝Ｒ＝弧ＡＢAB在小圆的张角为R/r，则通过几何关系可以得到A点的坐标：--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨四：问题求解和程序设计流程从前面建立模型的过程看，我们已经得到小圆上一点A的坐标的参数方程，为使实验直观形象化，采用mathematic软件编写程序，做成动画，程序实现过程如下：小圆在大圆内滚动时小圆上一点的轨迹由上面的方程给出，利用循环语句，确定步长和循环次数，在每一次循环内画出三个图形，先确定大小圆半径，

3、作出大圆和小圆，再画出小圆上点A的运动轨迹的曲线，通过Show命令得到动画演示。Mathematica程序如下：R=10;r=2;For[k=0,k<100,k++;s=k*Pi/6;dayuan=ParametricPlot[{R*Sin[u],R*Cos[u]},{u,0,2Pi},DisplayFunction®Identity,AspectRatio®Automatic];xiaoyuan=ParametricPlot[{(R-r)*Cos[s]+r*Cos[u],(R-r)*Sin[s]+r*Sin[u]},{u,0,2Pi}

4、,DisplayFunction®Identity,AspectRatio®Automatic];--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨dianA=ParametricPlot[{(R-r)*Cos[t]+r*Cos[(R-r)/r*t],(R-r)*Sin[t]-r*Sin[(R-r)/r*t]},{t,0,s},DisplayFunction®Identity,AspectRatio®Automatic];Show[{dayuan,xiaoyuan,dianA},AspectRatio®Automatic,

5、DisplayFunction®$DisplayFunction]]五．程序运行结果及其分析--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨从运行结果可以看出，因所取R=10，r=2，小圆上一点是五段重复的摆线，进一步就可推理出：探讨：为简单起见，取R，r都为整数，R/r=n：n若为整数，则轨迹为n段摆线不断重复；例如上面R=10,r=2，得n=5，摆线条数为5--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨R=10,r=2，n=5，摆线条数为5；n若不为整数，则将R/r化到最简分式,分子即是轨迹开始重复

6、的条数，例如：R=3，r=2，n=3/2,摆线条数为3；R=14，r=4，n=7/2,摆线条数为7；--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨R=14，r=6，n=7/3,摆线条数为7；R=32，r=24，n=4/3,摆线条数为4；由以上，因为整数n可以写成n/1的形式，将分子分母颠倒一下，取r/R=m/n,m/n为真分式，则可将上述两种情况统一如下，即结论：，（r

7、时，r，R不再局限于整数，小数分数都可以，只要r/R能化成一个真分式）--第10页，共10页-------小圆在大圆内滚动时的轨迹探讨再进一步讨论：当小圆在大圆外滚动，建模思想与在大圆内时一样，点A的方程为将程序稍微修改一下即可，如下R=14;r=2;For[k=0,k<100,k++;s=k*Pi/6;dayuan=ParametricPlot[{R*Sin[u],R*Cos[u]},{u,0,2Pi},DisplayFunction®Identity,AspectRatio®Automatic];xiaoyuan=Parametri

8、cPlot[{(R+r)*Cos[s]+r*Cos[u],(R+r)*Sin[s]+r*Sin[u]},{u,0,2Pi},DisplayFunction®Identity,AspectRatio®Auto