定理4.11设实数a,b且ab,则[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)的基数均

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1、定理4.11:设实数a,b且a

2、R

3、=

4、(0,1)

5、=c线段上的点数和实数轴上的点数是一样的整数集，非负整数集，正整数集，有理数集它们的基数是0实数集为无理数集?设P表示无理数集R=P∪Q,

6、Q

7、=0,由定理4.10知，定理4.10:设A是有限集或可列集,B是任一无限集,则

8、A∪B

9、=

10、B

11、。

12、R

13、=

14、P∪Q

15、=

16、P

17、,P的基数是。定理：两两不相交的可列个基数

18、为c的集合的并集，它的基数也是c。设E1,E2,…,En,…是两两不相交的基数为c的集合.S=∪Ek构造S到[0,1)之间的双射,也要寻找依托.利用Ei与[c,d)存在双射来实现在无限集中,有基数为0,c,还有其他基数吗?定理:设F是[0,1]上一切实函数集,则F的基数不是0,也不是c.证明:(1)F的基数不是0(2)F的基数不是c.定义:[0,1]上一切实函数集的基数为f,也记为2.现在有0,1,2,能否类似于数进行比较?4.4基数的比较定义4.6：设A和B是两个集合,若存在从A到B的

19、内射,则称A的基数小于或等于B的基数,记为

20、A

21、≦

22、B

23、或

24、B

25、≧

26、A

27、。若

28、A

29、≦

30、B

31、且

32、A

33、≠

34、B

35、,则称A的基数小于B的基数,记为

36、A<

37、B

38、。定理4.12：设A,B,C是任意集合,那么(1)若AB,则

39、A

40、≦

41、B

42、。(2)若

43、A

44、≦

45、B

46、,

47、B

48、≦

49、C

50、,则

51、A

52、≦

53、C

54、。推论:若A是无限集,则

55、N

56、≦

57、A

58、。可列集是无限集中基数最小的[0,1]是无限集，且

59、[0,1]

60、=c0,所以c>0定理4.13(蔡梅罗(Zermelo)定理):设A和B是任意两个集合,那么

61、A

62、<

63、B

64、,

65、B

66、

67、<

68、A

69、,

70、A

71、=

72、B

73、三者中恰有一个成立。对于基数集，对于基数集上任一元素

74、A

75、，因为AA,则

76、A

77、≦

78、A

79、，自反。由定理4.12(2)(若

80、A

81、≦

82、B

83、,

84、B

85、≦

86、C

87、,则

88、A

89、≦

90、C

91、)知传递，是否反对称呢？定理4.14(伯恩斯坦(F.Bernstein)定理):设A和B是两个集合,若

92、A

93、≦

94、B

95、,又

96、B

97、≦

98、A

99、,则

100、A

101、=

102、B

103、。由此定理知,基数集上的≦关系是偏序关系,又由定理4.13知,任意两个集合的基数都是可比较的,因此还是全序关系.利用存在A到B的内射和B到A的内射来构造A与B之间

104、的双射证明基数相同的方法有：构造双射；构造内射f:A→B,得到

105、A

106、≦

107、B

108、,再作内射g:B→A,得到

109、B

110、≦

111、A

112、,从而得到

113、A

114、=

115、B

116、。例:利用伯恩斯坦定理证明

117、(0,1)

118、=

119、[0,1]

120、。例:证明实数序列所组成集合E∞的基数为c。定理4.15：设A是有限集,则

121、A

122、<0

123、A

124、<

125、P(A)

126、。证明：康托尔定理告诉我们:任意给定一个集合A,总存在基数比

127、A

128、更大的集合,也就是不存在最大基数的集合。构造可列个无限基数的集合:N,P(N),P

129、(P(N)),…且

130、N

131、<

132、P(N)

133、<

134、P(P(N))},…左方最开始的不等式表示0<

135、P(N)},以后每一个都大于它前面的一个,

136、P(N)

137、是什么呢?当A是有限集时,

138、A

139、=n,则

140、P(A)

141、=2n,即

142、P(A)

143、=2

144、A

145、。当A是无限集时,也记

146、P(A)

147、为2

148、A

149、。A是可列集,则有

150、P(A)

151、=20,

152、P(N)

153、=20c与20之间有何关系定理4.17：

154、P(N)

155、=c,即20=c。0：所有整数(或分数)的数目；1=

156、P(N)

157、：线段上所有几何点(实数)的个数；2=

158、P(P(N)

159、)

160、：所有几何曲线的个数。0

161、公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。(2)算术公理系统的无矛盾性。欧氏几何的无矛盾性归结为算术公理的无矛盾性.根茨(G.Gentaen,1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。(3)只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等.德思(M.Dehn)1900年解决(4)两点间以直线为距离最短线问题。此问题提的一般。满足此