第7章fir数字滤波器的设计方法

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1、第7章FIR数字滤波器的设计方法IIR数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的FIR数字滤波器得到大力发展和广泛应用。1．线性相位FIR数字滤波器的特点FIRDF的系统函数无分母，为，系统频率响应可写成：，令＝，H(w)称为幅度函数，称为相位函数。这与模和幅角的表示法有所不同，H(w)为可正可负的实数，这是为了表达上的方便。如某系统频率响应＝，如果采用模和幅角的表示法，的变号相当于在相位上加上，从而造成相位曲线的不连贯和

2、表达不方便，而用这种方式则连贯而方便。线性相位的FIR滤波器是指其相位函数满足线性方程：＝（是常数）根据群时延的定义，式中表示系统群时延，表示附加相移。线性相位的FIR系统都具有恒群时延特性，因为为常数，但只有＝0的FIR系统采具有恒相时延特性。104问题：并非所有的FIR系统都是线性相位的，只有当它满足一定条件时才具有线性相位。那么应满足什么样的条件？从例题入手。例题：令h(n)为FIR数字滤波器的单位抽样相应。时h(n)=0，并假设h(n)为实数。（a）这个滤波器的频率响应可表示为（这是按幅度函

3、数和相位函数来表示的，不是用模和相角的形式），为实数。（N要分奇偶来讨论）（1）当h(n)满足条件时，求和（）（2）当h(n)满足条件时，求和（）（b）用表示h(n)的N点DFT（1）若h(n)满足，证明H(0)=0；（2）若N为偶数，证明当时，H(N/2)=0。解：（a）（1），当N为奇数时，104其中幅度函数：＝得到＝得到＝，，。所以，得出，。得出第一类FIRDF的特点：ü恒相时延，相位曲线是过原点的曲线；ü可通过h(n)灵活设计幅度函数的零点位置；ü幅度函数对频率轴零点偶对称，对点偶对称。（1

4、），当N为偶数时，104其中＝令得到＝，所以，得出，。第二类FIRDF的特点：ü恒相时延，相位曲线是过原点的直线；ü幅度函数对频率轴零点偶对称；ü幅度函数对频率轴点奇对称。由的连续性，点一定是幅度函数的零点。即时，在z=-1处有零点；因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。（2），当N为奇数时推导省略，结果是104，。第三类FIRDF的特点：ü恒群时延，有附加相移，相位曲线是截距为、斜率为的直线；ü幅度函数对零频点奇对称，零频是的零点；ü对奇对称，也是的零点。（2），当N为偶数时推导省略，结果是，。第

5、四类FIRDF的特点：ü恒群时延，有附加相移，相位曲线是截距为、斜率为的直线；ü幅度函数对零频点奇对称，零频是的零点；ü对偶对称。（b）（1），当，不论N为奇数还是偶数，中都含有项，，所以。104（2），N为偶数，，因为（）是的奇数倍，因此＝0，即。问题：FIRDF线性相位的条件是什么？总结四种FIRDF的特点：u当h(n)为实数且偶对称时，FIRDF为恒相时延，相位曲线是一条过原点、以为斜率的直线。信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是。当N为奇数时，时延是整数，是采样间隔的整数倍，采样点时

6、延后仍是采样点。但当N为偶数时，时延不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带来一些意外的问题。同时，N为偶数时，点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。一般情况下，第一类FIRDF特别适合做各种滤波器。u当h(n)为实数且奇对称时，FIRDF仅是恒群时延。相位曲线是一条截距为／2，以为斜率的直线。信号通过该滤波器产生的时延也是个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。单边带调制及正交调制正需要这种特性。因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。FIR

7、滤波器的极点都在原点上，而h(n)是因果稳定的有限长序列，因此H(z)在有限z平面上是稳定的。线性相位FIRDF的零点有自己的特点：它们必定是互为倒数的共轭对。证明如下：（线性相位）104（z变换的性质）如果是一个零点，代入上式有＝0，则也是零点。因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性），所以，也是零点。所以，，，都是零点。1．窗函数设计法因为，对FIR系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，冲击响应长度N就是

8、系统函数H(z)的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。2.1设计原理设计目标：设计一个线性相位的FIRDF；已知条件：要求的理想频率响应。是w的周期函数，周期为，可以展开成傅氏级数＝104，其中是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。但不能用来作为设计FIRDF用的h(n)，因为一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。分析：为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h(n)来近似。窗函