布拉格天文鐘的數學原理

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1、布拉格天文钟的数学原理M.KrizekA.SolcovaL.Somer作者简介：MichalKrizek，捷克科学院数学研究所的高级研究员，布拉格查理大学数学及物理学院教授。AlenaSolcova，捷克理工大学土木工程学院数学系的助理教授，十五年前开始定期举办数学历史研讨会。劳伦斯‧森玛(LawerenceSomer)，华盛顿美国天主教大学的数学教授，曾出版以数论为题材的论文。一、引言　　欢迎来到捷克共和国的首都——布拉格。这个中欧城市不但拥有「千塔之城」的美誉，而且更被联合国教科文组织列入世界文化遗产。不少举世闻名的数学家、

2、物理学家和天文学家都在这片土地上度过光辉的岁月，留下许许多多永不磨灭的历史印记。其中的代表人物包括文艺复兴时期的意大利哲学家乔尔达诺‧布鲁诺(GiordanoBruno)、丹麦天文学家第谷‧布拉赫(TychoBrahe)、其助手德国天文学家约翰尼斯‧开普勒(JohannesKepler)、波希米亚数学家伯纳德‧波尔查诺(BernardBolzano)、法国数学家奥古斯汀‧柯西(AugustCauchy)、挪威数学家尼尔斯‧亨利克‧阿贝尔(NielsHenrikAbel)、奥地利数学及物理学家克里斯提昂‧多普勒(Christian

3、Doppler)、奥地利物理学及哲学家恩斯特‧马赫(ErnstMach)、相对论创立人德国理论物理学家阿尔伯特‧爱因斯坦(AlbertEinstein)和他的大学同僚乔治‧皮克(GeorgPick)，而皮克是教授爱因斯坦张量微积分的数学家之一。上述科学家在布拉格生活期间，建立了几个对后世影响深远的数学和物理学理论，并且从事相关之研究工作。十七世纪初，开普勒根据第谷‧布拉赫的观测结果，提出行星运动三大定律之第一、第二定律。十九世纪上半叶，波尔查诺给出了一个既有分形特征，又不可微分的连续函数，并且以无限数集(infinitesets

4、)为题撰写了《无穷的诡论》(Paradoxesofinfinity,1851)。1842年，布拉格理工大学数学教授多普勒在布拉格Ovocnýtrh（图1）的查理大学，首次就其创立的效应（后来称为「多普勒效应」）发表公开演讲。1911年至1912年，爱因斯坦在布拉格德国大学(PragueGermanUniversity)担任理论物理学教授，醉心于广义相对论的研究工作。甚至著名捷克作家卡雷尔‧恰佩克(KarelČapek)也是在布拉格发明「robot」这个字（捷克语Robota，意谓劳役、苦工）。本文末会简单介绍这些与布拉格息息相关

5、的伟人纪念碑和雕塑。接下来，本文集中讨论布拉格旧城广场中心的一个著名建筑物，分析其中有趣的数学问题。图1布拉格旧城区中心地图图2旧城广场天文钟的位置布拉格旧城区中心（图1-2）有一个古色古香的天文钟（捷克语orloj，英语horologe）。无论是一般游客，或是热爱数学的人，都会慕名而来一睹这个举世稀有的珍品。本文将揭示天文钟与三角形数之间鲜为人知的关系，探讨三角形数的特性，以及这些特性如何提升大钟的准确度。　　布拉格天文钟的数学模型设计来自简‧安卓亚（JoannesAndreae，捷克语JanOndrejuv，生于1375年，

6、卒于1456年）。安卓亚又名辛蒂尔(Šindel)，在国王查理四世于1348年所创办的布拉格大学任教。1410年，辛蒂尔当上大学院长，天文钟的设计意念终于通过卡丹市(Kadaň)的钟匠密库拉斯（捷克语Mikulás，即英语Nicholas）得以实现。布拉格天文钟设于旧城市政厅一座约六十米高的钟楼内，而两个大钟盘（图3）则镶嵌在钟楼南面的外墙上。六百年来，天文钟经历过几次大型翻新，其中一次约在1490年，由克伦洛夫城(Ruze)的钟表工匠简恩（Jan，又名哈劳斯大师MasterHanus）带领进行。天文钟下钟盘的左方特别设置一面纪

7、念碑，表扬这些钟匠的付出和贡献。　　天文钟的上钟盘是一个靠发条机制控制而运作的星盘，象征天球(celestialsphere)由其北极通过南极落在切平面上的球极平面投影(stereographicprojection)。钟盘的中心点相当于天球的南极，南极四周的最小内圆代表南回归线，而外圆则代表北回归线，两者之间的同心圆相当于天球赤道（图4）。图3布拉格天文钟的两个钟盘图4天文钟的上钟盘球极平面投影有一基本性质（由古希腊天文学家托勒密Ptolemy提出）：球体上所有异于北极的圆，经过球极平面投影法，在平面上的投影也是一个圆。因此，

8、天球黄道的投影也是圆形，以刻有十二星座图案的镀金钟圈表示。虽然天球黄道的中心点并不是南极点，但是镀金钟圈却神奇地绕着南极点转动（图4）。此外，天文钟也指出了太阳在黄道上的大概位置、月球的运动、月相，以及日、月和十二星座各自的出、落和中天时间。镀金太阳指针在罗马数