魔術方塊中的數學原理.doc

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1、魔術方塊中的數學原理台大數學系三年級張紘睿簡單的歷史介紹:魔術方塊是1974年,由匈牙利布達佩斯的建築系教授ErnoRubik發明的。本來的目的是為了讓學生瞭解立體結構所做的模型,為了區分每個小塊的移動,而分別把六面給上了不同的顏色,然後在稍微轉了幾下之後,發現這個東西非常的難復原,於是世界上第一個魔術方塊就誕生了。二階與三階的方塊:三階方塊(Rubik'sCube)是一般最常見的方塊,是由六個中心面(center),八個角(corner),十二個邊(edge)所組成的。而二階的方塊(PocketCube)則是沒有中心面的方塊,只有三階方塊的八個角。

2、課堂上主要以這兩種類型來說明。首先,我們來看對於一個魔術方塊來說,它可以亂轉成幾種組合呢?全部的組合數:2階:7!x3^7(環排)3階:8!x12!x3^8x2^12(非環排)但是,所有的狀態都有可能出現嗎?或者說,如果我們把一個方塊拆開,再隨便裝回去,一定有辦法把它轉回原來的樣子嗎?答案是不行的。事實上,對於一個三階的魔術方塊來說,如果不把一顆魔術方塊給拆了,下面三種狀態是不可能出現的:(1)單對互換(exchangesinglepair)(2)單邊翻轉(flipsingleedge),(3)單角自旋(twistsinglecorner)。現在,我

3、們就來說明這三種情形為什麼不可解,首先,我們要先說明的第一個東西是不變量,什麼是不變量?如果我們定義出一個函數,使得這個函數的值在變換之下仍然保持不變,那它就是一個不變量。舉例來說:孔明棋:            3-puzzle         12 31 23。。。             3  2  1。。。    。。。            13 21 32     2  3  1(3,3,3)           在3-puzzle中一共有六種case,而其中只有三種有解,婐們稱之為偶至換(evenswap)而另外三種不可解的則稱為奇至換

4、(oddswap),並不是所有的題目中奇至換都不可解,只是在這個例子中,剛好不可解。所以現在我們知道了,如果要用不變量來確認一個狀態和另一個狀態之間是否互通(就是可解的意思),我們可以先建構一個不變量的函數出來,然後計算它的值,再確認在合理的操做之下,這個值不會改變,那麼,我們就可以說如果有一個狀態,代入我們給出的公式計算,得到和原來不一樣的值,那這個狀態就不可解。現在,我們回到魔方上。對於下列的三種情形,現在我們分別給出三種不變量:單對互換:位置的不變量。單邊翻轉:邊的不變量。單角自旋:角的不變量。首先我們來看位置的不變量:這裡我們給出一個和3-p

5、uzzle相似的函數:為什麼是20?因為我們有8個角和12個邊,一共有20個小方塊。經過計算可以知道,對於尚未轉亂的狀態來說f(X)=1而如果只有兩個方塊交換的時候f(X)=-1但是一個方塊最小的變換是對於單一個面做四分之一圈的旋轉,而在經過四分一圈旋轉之後f(X)=1。所以,我們可以知道不存在只有兩個單獨方塊對的交換。但是在二階的方塊中,只交換兩個方塊的情形是存在的,因為二階方塊沒有邊,所以它的變換是奇至換。接著,我們考慮邊和角的情形:對於每一個邊來說,有一面是1/2而有另外一面是0,而在每一個轉動中,每個面增加的總量是一個整數,減少的總量也是一個

6、整數,所以不存在只有一個邊翻轉的情形。對於每一個角來說,三面分別是0,1/3,2/3。則對於每一個旋轉來說,每個面的改變量一定是整數,而如果旋轉單一角,則會導致面的改變量是分數,所以單一角的旋轉也是不存在的。所以,實際上的組合數應該是:2階:7!x3^7/3=3,674,1603階:8!x12!x3^8x2^12/2/2/3=4,325,003,274,489,856,000圖論下的模型:如果我們把所有的狀態都當成一個點,而一個狀態可以經由一個旋轉達成另一個狀態的話,我們說這兩個點之間有邊。如此一來,我們會得到一個有4,325,003,274,489

7、,856,000個點的圖。為什麼要這樣模型化呢?因為這牽涉到一個相當複雜的問題:對於任意亂的方塊,是否存在一個最短路徑的解法?這個答案是肯定的,那麼如果存在一個這樣的解法,那麼將之推廣的話,對於所有的狀態,是否都能在n轉之內將其復元呢?事實上,這是一個NP-hard的題目,目前還沒有辦法用電腦計算出來,於是就有人把這個問題改成這樣的等價形式:對於這個圖中的任兩點,最長的距離是多少?不過這也只是一個想法而已,截至目前為止,仍然沒有人對這個問題做出解答。參考書目:1:C.Bandelow:InsideRubik’sCubeAndBeyond(Boston

8、:Birkhäuser,c1982)2:ErnőRubik:Rubik'scubiccompendium(O

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