二次根式的概念二次根式的乘除法 2

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1、年级初二学科数学编稿老师巩建兵课程标题二次根式的概念、二次根式的乘除法一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破本讲主要考点包括：（1）二次根式的意义，最简二次根式的概念；（2）二次根式的性质，二次根式的乘除运算。在中考试题中，主要考查二次根式的概念和乘除运算，用二次根式的性质进行简单的二次根式的化简，会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围，用二次根式乘除法则进行计算，通过二次根式的计算和化简，培养对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。从中考题型来看，单独考查的考点一般包括：二次根式的定义，最简二次根式、二次根式的性质，主要以选择题的形式出现

2、，约占3分；二次根式的化简与乘除运算多以计算题的形式出现，一般为综合题，约占6分。二、重、难点提示重点：二次根式的性质和乘除运算。难点：对二次根式性质的解理应注意两点：①二次根式的双重非负性；②隐含条件。知识脉络图第8页版权所有不得复制能力提升类例1已知：m、n是两个连续自然数（m

3、本题是一道综合题，解题关键是根据m、n是连续自然数，用m表示n，用n表示m，依据二次根式的性质化简P，再确定P的奇偶性。例2计算：（1）÷×；（2）2ab×3÷。一点通：将（1）中前面的除号改为乘号，则变为，（2）中前面的除号改为乘号，则变为2。答案：（1）÷×＝÷×＝＝1；（2）2ab×3÷＝2ab×3×2＝2ab×a×3×2＝2a2b×3×2＝12a2b＝12a3。点评：（1）在二次根式的混合运算中，通常把乘除统一成乘法，注意除法要“颠倒相垂”。如3÷＝3×2，其中颠倒为2，被开方数颠倒为。（2）运算的最终结果要化成最简二次根式。（3）化简二次

4、根式时，如果被开方数是带分数则化为假分数。综合运用类例3把（a－1）根号外面的因式移到根号内，结果为__________。一点通：由题中的隐含条件可知a－1＜0，因此根号外面的a－1不能直接平方后移入根号里面，我们必须保证要移进去的代数式是非负数，然后再平方后移入。答案：∵a－1＝－（1－a）＝－，∴原式＝－＝－。第8页版权所有不得复制点评：本题对初学根式的同学来说有一定的难度，其实质是对二次根式的化简，这里之所以强调把根号外的因式移到根号里面，是向同学们介绍这种方法。这种方法在二次根式的化简中非常重要，同时也是进行二次根式运算的基础和关键。希望同

5、学们在学习中能灵活运用。例4当x满足什么条件时，（）2＝成立？一点通：本题应运用二次根式（）2＝a这一性质，找到x的取值，然后在这个范围内运用性质＝︱a︱化简，寻找问题的答案。答案：由于有意义，故1－3x≥0，解得x≤。即当x≤时，（）2＝1－3x，＝︱3x－1︱＝1－3x，所以当x≤时，（）2＝。点评：对于的化简，为避免出错，首先应写成绝对值的形式，只有确定a的取值范围后才能正确地进行化简。例5化简：（）2＋2。一点通：题中没有告诉我们a与b间的关系，而是隐含在“被开方数是非负数”这一条件中，抓住这一隐含条件是解题的关键。答案：由于有意义，故a－

6、b≥0，即a≥b，所以＝a－b。所以原式＝a－b＋2（a－b）＝3a－3b。点评：化简的条件有两类：一类是题中直接给出字母的取值范围，另一类是隐含在二次根式有意义的条件中，需由同学们思考后才能确定。思维拓展类例6设a、b、c都是实数，且满足（2－a）2＋＋︱c＋6︱＝0，又ax2＋bx＋c＝0，求代数式x2＋x＋1的值。一点通：此题的已知条件是几个非负数的和等于0，故可用非负数的性质求出a、b、c的值，再代入ax2＋bx＋c＝0中求出x2＋x＋1的值。答案：∵（2－a）2≥0，≥0，︱c＋6︱≥0，而（2－a）2＋＋︱c＋6︱＝0，∴，解这个方程组

7、得。代入ax2＋bx＋c＝0，得2x2＋2x－6＝0，即x2＋x＝3，∴x2＋x＋1＝4。点评：（1）几个非负数的和为0，则它们分别为0，由此可建立方程组求解。（2）把x2＋x作为一个整体求值，这是一种常用的数学方法。例7比较下列二次根式的大小：（1）7与3；（2）与；（3）＋与＋。一点通：（1）将7与3根号外的因式移进根号内，再比较被开方数的大小；（2）与中可把化成与同分母的形式，只需比较被开方数的分子即可；（3）在＋与＋中，考虑到6＋2＝5＋3＝8，将两个根式分别平方，就能比较其大小。第8页版权所有不得复制答案：（1）∵7＝·＝，3＝·＝，且＜

8、，∴7＜3；（2）∵＝＝＝＞，∴＜；（3）∵（＋）2＝8＋2，（＋）2＝8＋2，且8＋2＜8＋2，∴＋＜＋。点评：上面各题