用几何投影巧妙理解傅里叶级数

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1、用几何投影巧妙理解傅里叶级数最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到“傅里叶级数”了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。1.什么是投影我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量u和v，我们从

2、u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p。这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。图中的系数c是p跟v的比例，也就是u在v轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量u和v都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求c？我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道u-cv这个向量是“正交”于v的，用数学语言表达就是(u-cv)Tv=0。我们马上就可以得到c的表达式如下。（1）2.向量在一组正交基上的展开在讲傅里叶级数之前，

3、我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基{v1，v2}，那么u可以展开成以下形式（2）从图上来看，(2)式其实说的是我们可以把u“投影”到v1和v2这两个坐标轴上，c1和c2就是u的新“坐标”。问题是：我们怎么求c1和c2呢？你会说，我们可以(2)式两边同时乘以v1或v2，然后利用它们正交的性质来求c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下

4、的表达式：（3）3.傅里叶级数的几何意义现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的v换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是2l的周期函数f(x),它的傅里叶级数为：（4）其中系数表达式如下：（5）我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x)可

5、以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，（6）这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（innerproduct）为零。“内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dotproduct)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间[a,b]上的两个实函数u(x),v(x)来说，它们的内积定义为（7）正交基(6)中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角

6、函数构成的“坐标轴”上。上面(5)式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。现在的问题是我们不能直接用(1)式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把(1)式中分子分母的点积分别替换成(7)式。那么(5)式中的所有系数马上可以轻松的写出：（8）值得注意的是，(8)式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是[-l,l]还是[0,2l]，答案都是一样的。有同学会说，老师上课教的是对(4)式两边乘以1，cos(nπx/l)，或sin(nπx/l),然后积分，利用这些函

7、数之间的正交性来得到(5)式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是2l的周期函数f(x),它的傅里叶级数的复数形式为：（9）其中系数表达式如下：（1

8、0）这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数，（11）我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间[a,b]上的两个复函数u(x),v(x)来说，它们的内积定义为（12）其中v加上划线意思是它的共轭。(10)中指数函数里的负号就是因为取了共轭的关系。现在我们同样可以把原函数分别投影到(11)