傅里叶级数的几何意义 – 巧妙记忆公式的方法

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1、最近我在重新学习偏微分方程的时候又遇到“傅里叶级数”了，我曾经觉得这个公式非常繁琐，用到的时候就去翻书查看，没法自己信心满满的写出来。现在我找到诀窍了，可以不需要任何参考书，给我一个周期函数，我可以马上写出它的傅里叶级数。诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。 1. 什么是投影   我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量u和v，

2、我们从u的末端出发作到v所在直线的垂线，得到一个跟v同向的新向量p。这个过程就称作u到v所在直线的投影，得到的新向量p就是u沿v方向的分量。图中的系数c是p跟v的比例，也就是u在v轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量u和v都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求c？        我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道u-cv 这个向量是“正交”于v的，用数学语言表达就是 (u-cv)T v = 0。我们马上就可以得到c的表达式如下

3、。 （1）  2. 向量在一组正交基上的展开   在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基{v1，v2}，那么u可以展开成以下形式 （2）    从图上来看，(2) 式其实说的是我们可以把u“投影”到v1和v2这两个坐标轴上，c1和c2就是u的新“坐标”。问题是：我们怎么求c1和c2呢？你会说，我们可以 (2) 式两边同时乘以v1或v2，然后利用它们正交的性质来求c1，

4、c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表达式： （3） 3. 傅里叶级数的几何意义   现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把 (1) 式中的v换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是2l的周期函数f(x),它的傅里叶级数为：

5、 （4）其中系数表达式如下： （5）    我不喜欢记忆这些公式，有办法可以更好的理解他们来帮助记忆吗？答案是有的，那就是从几何的角度来看。傅里叶告诉我们，f(x) 可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开， （6）    这里我们需要在广义上来理解“正交”。我们说两个向量，或两个函数之间是正交的，意思是它们的“内积”（inner product）为零。 “内积”在有限维的“向量空间”中的形式为“点积”(dot product)。在无限维的“函数空间”中，对于定义在区间 

6、[a,b] 上的两个实函数u(x),v(x) 来说，它们的内积定义为 （7）     正交基 (6) 中的每个函数都可以看做是一条独立的坐标轴，从几何角度来看，傅里叶级数展开其实只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。上面 (5) 式中的系数则是函数在每条坐标轴上的坐标。   现在的问题是我们不能直接用 (1) 式来求这些坐标了，因为它只适用于有限维的向量空间。在无限维的函数空间，我们需要把 (1) 式中分子分母的点积分别替换成 (7) 式。那么 (5) 式中的

7、所有系数马上可以轻松的写出： （8）   值得注意的是，(8) 式中所有积分可以在任意一个长度是2l的区间内进行。也就是说，不管是[-l,l] 还是 [0,2l]，答案都是一样的。  有同学会说，老师上课教的是对 (4) 式两边乘以1，cos(nπx/l)，或sin(nπx/l), 然后积分，利用这些函数之间的正交性来得到 (5) 式。这些当然是对的，而且我们应该学会这种推导来加深对正交性的理解。但是在应用上，我更喜欢用几何的角度来看傅里叶级数，把函数看成是无限维的向量，把傅里叶级数跟几何中极其简

8、单的“投影”的概念联系起来，这样学习新知识就变得简单了，而且可以毫无障碍的把公式记住，甚至一辈子都难忘。  熟悉傅里叶级数的同学会问，那么对于复数形式的傅里叶级数，我们是否也能用几何投影的观点来看，然后写出级数中的所有系数呢？答案是肯定的。给定一个周期是2l的周期函数f(x),它的傅里叶级数的复数形式为： （9）其中系数表达式如下： （10） 这意味着我们用了下面这组“正交基”来展开原函数， （11）   我们之前提到了两个函数正交，意思是它们的内积为零。对于定义在区间 [a,b]