理解傅里叶级数.ppt

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1、高等数学第十章无穷级数10.5傅里叶级数*10.5.6小结10.5.1三角级数与三角函数系的正交性10.5.2以为周期的函数的傅里叶级数10.5.3区间上函数的傅里叶级数10.5.4正弦级数和余弦级数10.5.5以为周期的函数的傅里叶级数10.5.1三角级数与三角函数系的正交性函数项级数称为三角级数，其中是常数．称函数族为三角函数系．三角函数系的正交性是指：三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间上的积分等于零即10.5.2以为周期的函数的傅里叶级数通常，由下述公式确定的称为函数的傅里叶系数．将傅里叶系数值

2、代入展开式的右端得到的三角级数称为函数的傅里叶级数．定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设是周期为的周期函数如果它满足在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内至多只有有限个极值点则的傅里叶级数收敛并且：(1)当是的连续点时级数收敛于(2)当是的间断点时级数收敛于例1设是周期为的周期函数它在上的表达式为将展开成傅里叶级数．解所给函数满足收敛定理的条件，函数在点处不连续在其它点处连续，从而由收敛定理知道的傅里叶级数收敛，并且当时收敛于当时级数收敛于傅里叶系数计算如下于是的傅里叶级数展

3、开式为10.5.3区间上函数的傅里叶级数例2将函数展开成傅里叶级数．解将函数延拓成以为周期的函数易知，函数满足收敛定理的条件，傅里叶系数为所以，函数的傅里叶级数展开式为10.5.4正弦级数和余弦级数一、正弦级数和余弦级数定理2对于周期为的奇函数其傅里叶级数为正弦级数，即傅里叶系数为周期为的偶函数其傅里叶级数为余弦级数，即傅里叶系数为例3将周期函数展开成傅里叶级数，其中为正常数．解不妨将看成是为周期的函数，满足收敛定理，先计算傅里叶系数从而函数的傅里叶级数是一个余弦级数二、区间上的函数的傅里叶级数将一个定义在上的

4、函数进行拓展这样构造的函数在上是一个奇函数，按这种方式拓展函数定义域的过程称为奇延拓。同理，构造函数为按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓．例4将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．解先展开成正弦级数．对函数作奇延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件．按公式计算傅里叶系数从而可得正弦级数其中在端点处，级数的和为0．再把函数展开成余弦级数．对函数作奇延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件．按公式计算傅里叶系数从而可得余弦级数10.5.5以为周期的函数的傅里叶级数定理3设周期为的周期函数满足收敛定理条件，则它的傅

5、里叶级数当是的连续点时，有其中例5设是周期为4的周期函数它在上的表达式为将展开成傅里叶级数，其中为非零常数．解这里于是且在点处的傅里叶级数收敛于例6将函数展开成（1）正弦级数；（2）余弦级数．解（1）将先作奇延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得从而可得正弦级数（2）将先作偶延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得从而可得余弦级数10.5.6小结1.三角级数与三角函数系的正交性2.以为周期的函数的傅里叶级数3.区间上函数的傅里叶级数4.正弦级数和余弦级数5.以为周期的函数的傅里叶级数