傅里叶级数--新.ppt

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1、傅里叶级数除了幂级数,还有一种常用的函数项级数是三角级数(1)其中都是常数,称为上述三角级数的系数.三角级数(1)的部分和称为n阶三角多项式.显然,三角级数(1)的和函数S(x)存在时,是一个周期为2π的函数.与幂级数不同的是,S(x)不但不是无穷次可微的,甚至是不连续的,这非但不是缺点,反而正是它的优点.这使我们可以指望将较差的函数展开成形如(1)的三角级数.设f(x)是周期为2π的函数.本章主要研究下面两个问题:(i)f(x)满足什么样的条件,可以将它展开成三角级数?(ii)当f(x)可以展成三角级数时,各个系数怎么确定?三角级数(1)中出现的函数列(2)称

2、为三角函数系.定义1设f(x)和g(x)是[a,b]上的两个可积函数,若则称函数f(x)与g(x)在[a,b]上正交.若函数系{fn(x)}中的任何两个函数都正交,则称该函数系为正交函数系.定理1三角函数系是[-π,π]上的一个正交函数系,即可以证明,三角函数系在[0,2π]以及任何长为2π的区间[a,a+2π]上都是正交函数系.设f(x)是以2π为周期的函数,并假定f(x)在区间[-π,π]可以展开成一致收敛的三角级数(3)将(3)式在[-π,π]上积分,得到将(3)式两边同乘,这样得到的级数在[-π,π]一致收敛到,然后在[-π,π]逐项积分并利用三角函数系

3、的正交性,得到类似地可得为了让所有与都可定义,则必须在[-π,π]可积;倘若在[-π,π]有瑕点,则必须绝对收敛.我们把满足以上条件的称为在[-π,π]绝对可积.定义2设f(x)以2π为周期,在[-π,π]绝对可积,则由公式决定的称为f(x)的傅里叶系数,由这些决定的三角级数称为f(x)的傅里叶级数,记为Remark并不意味着后者成立包含两重意思:右边的级数收敛且收敛于f(x).前者仅表示f(x)的傅里叶级数为右边级数,而右边级数甚至可能不收敛.例1求f(x)=sgn(cosx)的傅里叶级数.解:显然,f(x)是以2π为周期的周期函数.又f(x)为偶函数,从而b

4、n=0.故例2设f(x)以2π为周期,求f(x)的傅里叶级数.解:傅里叶级数的收敛性定义1若函数f(x)在区间[a,b]上除有限个第一类间断点外皆连续,则称f(x)在[a,b]上逐段连续.若f(x)及其导数都在[a,b]上逐段连续,则称f(x)在[a,b]上逐段光滑.根据上述定义,若f(x)在[a,b]逐段光滑,则有如下重要性质:(i)f(x)在[a,b]可积;(ii)在[a,b]上每一点x都存在且有收敛定理定理1若f(x)以2π为周期,且在[-π,π]逐段光滑,则在每一点f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)在点x的左、右极限的算术平均值,即推论若f(x)以2π为

5、周期的连续函数,且在[-π,π]逐段光滑,则f(x)的傅里叶级数在收敛于f(x).Remark已知f(x)在[-π,π]逐段光滑,若f(x)在x=-π间断,根据收敛定理,f(x)的傅里叶级数在-π收敛到注意到f(x)以2π为周期,因此故f(x)的傅里叶级数在–π应收敛到由f(x)的周期性知,f(x)的傅里叶级数在π也应收敛到同一数在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,常只给出函数f(x)在(-π,π](或[-π,π))上的解析表达式,但应理解为它是定义在整个数轴上以2π为周期的函数.即在(-π,π]以外的部分按函数在(-π,π]上的对应关系作周期延拓.f(x)是以

6、2π为周期的函数,所以傅里系数公式中的积分区间[-π,π]可以改为长度为2π的任何区间,而不影响的值:其中c为任何常数.例3将函数展成傅里叶级数.解:显然f(x)是逐段光滑的.当时,所以在(-π,π)上在上式右端收敛于例4设求f(x)的傅里叶级数展开式.解:当时,所以当时,当时,上式右端傅里叶级数收敛于当时,上式右端傅里叶级数收敛于例5将函数展成傅里叶级数.解:收敛定理的证明两个引理.引理1若f(x)是以2π为周期的函数,且在[-π,π]上可积,则它的傅里叶级数的部分和可写成当时,被积函数中的不定式由极限来定义.推论引理2(黎曼引理)若g(x)在[a,b]可积,

7、则证明:首先,对任意的有给[a,b]以分法记为g(x)在的下确界,这时因此其中为g(x)在的振幅,由g(x)在[a,b]可积知,可选定分法,使取定分法后,就是固定的了,因此只要就有这就证明了引理2的第一个极限.引理2的第二个极限类似可证.收敛定理的证明:只需证明在每一点处下述极限成立.即或证明同时有与我们仅证上面第一个极限,第二个极限类似可证.先用引理1的推论将表示为于是,第一个极限改写为令则再令则在右连续.于是,在[0,π]至多有有限个第一类间断点,因此在[0,π]上可积.根据黎曼引理,这就证明了第一个极限成立.用同样方法可证第二个极限也成立.收敛定理得证.傅

8、里叶级数的逐项积分定理2