一个计算黎曼流形两点间测地线精确距离的简易公式

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1、一个计算黎曼流形两点间测地线精确距离的简易公式北京大学Email:sdsxdwd@163.com摘要：两点间最短的线是什么？怎么找这些曲线及它的分布情形，到现在为止还是微分几何的一个有趣问题。我们知道在圆球上所有的测地线（geodesic）都是大圆。假设我们将圆球变形一下，变成凸曲面：convex surface，这问题就变成一个很复杂的数学问题。它的测地线分布状态并不明显，到目前为止没有办法处理这个问题，只有在简单的椭圆体时可以全部解决这个问题。本文通过建立多体运动物理模型，间接得到一个计算黎曼流形两点间测地线距离的

2、简易公式且为精确解关键词：黎曼流形测地线国家自然科学基金项目（61240048）（ERCTSF2013A001）国家自然科学基金（61074077）Aconstructionmethodforanalyticsolutionofarbitrarymulti-bodyproblemDongweidongAbstract:Undertheactionofprocessingeffort,thepointontheplanecurveisregardedasaparticle,andthearbitraryplanecurv

3、eisregardedasaNewtonquantummulti-bodymotionofinfinitemulti-mass.first,theandahalfsolutionspaceofthesensedeterminationboundaryisobtained,sothattherotationoftheobjectisananalyticsolutionoftheduoboundary,andthefourtheoremisprovedindirectly,andthemulti-bodymotionpla

4、nesolutionwithboundarymovementisobtained:thethree-colortheoremandthesecondcolortheoremarepresented,andthearbitraryanalyticsolutionoftheduoproblemcanbeconstructedaccordingtotheformulaKeywords:Four-colortheoremkPlanarquantummanybody牛顿三体或N题问题的解与坐标系的选择有关，牛顿三体或N提问题的无

5、解与坐标系有关，常用坐标系平面直角坐标系,平面仿射坐标系（坐标轴不垂直，二坐标轴的单位可能不同,极坐标系,一个球面上的经纬坐标（球面坐标）,空间直角坐标系,空间仿射坐标系,柱面坐标系（平面极坐标加上竖坐标）,球坐标系（一个距离、两个角，平面极坐标系的推广）中三体或多体问题均无解，作者建立“矢量场+极坐标系+球形坐标系+空间直角坐标系”结合而成的“空间矢量场球极坐标系”，它是所有常用坐标系的综合，新创建坐标系以空间矢量ri为未知量，解三体或N解集空间，则避开了轨道混沌现象，得到一个完全解析函数或完全解析构形的牛顿三体或多

6、体解的集合“空间矢量场极坐标系”的引入：三体问题是天体力学中的基本模型，即探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律。它们有无数种可能的运动轨迹。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。三个物体在空间中的分布可以有无穷多种情况，由于混沌现象的存在，通常情况下三体问题的解是非周期性的。假如计算坐标原点不在多体的内部，极坐标原点选择适当，则太阳系多体的任一单体的轨迹成为一锥体上的圆锥曲线，得到天体运动的开普勒定律，假如计算坐标原点退化到太阳系轨道平面上，开普雷定

7、律失效，1855年法国数学家庞加莱《关于三体问题的动态方程》证明了对于N体问题在N＞2时不存在统一的第一积分（uniformfirstintegral）,即使是一般的三体也不可能通过发现不变量最终降低问题的自由度，寻找三体问题的通解是枉费力气，但在特殊条件下，一些特解是存在的。必须找到合适的初始条件：位置、速度等等，才能使系统在运动一段时间之后能够回到初始状态，即进行周期性的运动。在“三体问题”被提出的三百年内，仅仅三种类型的解被发现。三体问题的真正解决，是建立一种数学模型，使得在已知任何一个时间断面的初始运动矢量时，

8、能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。一般的三体问题，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分，远远不足以解决三体问题。这与坐标系的选择有关，如玫瑰线(polarr