次黎曼测地线的刻划

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1、硕士论文次黎曼测地线的刻划3OCt，。)=(口1，口2，⋯，日。一k)其中吼，如，⋯，％一k是分布D的零化子Do的局部标架，与t有关．从而D。=ker(O(t．∞))，X∈M这样约束条件7印)∈D就等价于7似)∈ker(O(t，，(c)))，即0(t，，(t))(，y似))=o([301)．利用Lagrange乘子法，次黎曼测地线问题就转化成无约束的极小值问题．此外，在本文的第四部分中，我们从控制论的角度出发，也得到了约束7协)∈D的一个刻划．虽然奇异测地线是次黎曼几何所特有的I悻I线，但也不排除不存在奇异测地线的次黎曼流形的存在．黎曼流形作

2、为次黎曼流形的一个特例，它不存在奇异测地线，即所有的黎曼测地线都是正规的．现已知道如下的两类次黎曼流形，不存在奇异测地线．(一)水平分布D满足强不可积条件．分布D满足强不可积条件的一个典型的例子是分布D由强括号生成，即对D中的任意水平向量五，￡=1，2，⋯，k，有span{Xi，IX,，玛】)=TM，t，J=l，2，⋯，k．而Heisenberg群又是分布满足强括号生成的一个特例．例Heisenberg群在欧氏空间帮中，设水平分布1D={(u1，口2，'03)："3一去(zV2一yvl)=0)∈R3‘在D上定义内积：对任意u=("1，V2，地

3、)，W=(W1，训2，W3)∈R3(V，w)=口1Wl+"02"2容易验证，分布D可由强括弓生成，因此Heisenberg群中所有的测地线都是正规的．(二)分布是接触分布．如果分布D={日=o)，其中目是满足下列条件的1一形式dOfD是非退化的，即若dO(X，")=O，VV∈D。则有x=0．具有切触分布的次黎曼流形不含有奇异曲线，因此也就不可能存在奇异测地线．此外，Nikitin在1996年从最优控制论的的免度出发，利川变分法得到了次黎曼流形上只存在正规测地线的充分条件(可参考文献[43])．硕士论文次黎曼测地线的刻划4在文章的第三部分我们讨

4、论了次黎曼测地线的结构，如果测地线不存在，那我们的讨论就没有任何意义了．因而测地线的存在性是次黎曼几何中一个基本而又很重要的问题．那么，次黎曼流形满足什么样的条件才存在测地线?换句话说，任给两点是否存在次黎曼测地线连接它们?更一般的，任意两点之间是否存在一条水平曲线连接?第二个问题是我们在次黎曼流形上寻找测地线的一个必不可少的前提条件，早在20世纪30年代就由Chow解决!对于次黎曼流形(M，D，9)，如果M是连通的，水平分布D由括号生成，即对M中的任意水平向量X，i=1，2，⋯，k，有span{苁，Ix,，玛】，陇，fxj，蕊】】1．··}

5、-TM,i，J，f=l，2，⋯，k。则M中任意两点可由一条水平曲线连接([47])，此时M中任意充分靠近的两点都可由一条极小测地线连接(f35】)．如果进一步分布D由强括号生成，且流形M关于次黎曼度量是完备的，则M中的任意两点可由一条极小测地线连接([35])．随着条件的加强，测地线的存在由充分靠近的两点到流形上的任意两点，从局部发展到整体，结论变得越来越完美．但美中不足的是，我们无法判定连接两点的极小测地线是正规的，或正则的，或奇异的．这也是日前次黎曼测地线的研究与发展趋势．为了清楚地刻划次黎曼测地线的特征，Piccione和Tausk在1

6、999年给出了两端点固定时正规测地线的特征，同时得到了两端点分别在两个光滑子流形上自由移动时正规测地线的特征．一般情况下，容许空间码。-(【Ⅱ，6】，D，M)不具有光滑流形的结构，但在正则曲线的适当邻域内，具有无限维Hilbert流形结构，因而，iENI}}

7、线7是次黎曼能量泛函E在容许空间码．。-(【o，6]，D，M)的临界点，当且仅当它是连接qo，q1两点的正规测地线([13】)．对于端点分别在光滑子流形P,Q上自由移动的情形，也有类似的结论(见本文中的定理4．3．3)，如果端点流形P或Q横切于分布D，即耳P+Dp=0M，对所有的P∈P则

8、容许空间。H尸，10(fo，6]，D，M)不含有奇点，它是无穷维的光滑Hilbert流形，此时所有的次黎曼测地线都是正规的，且次黎曼能量泛函E在该空间内的临界点恰好是P，Q之间的正规测地线。且满足边界条件：r(o)∈(薯(。)P)。，r(b)∈(E(6)Q)。其中r为，y的提升(【30])．既然在一定条件下，正规测地线可由次黎曼能量泛函E在容许空间内的临界点来刻划，那么E的临界点存在性与多解性就可以反映正规测地线的存在性与多硕士论文次黎曼测地线的刻划5解性．进一步他们两人利HjMorse指标理论，于2000年得到了终点q固定，起点在M的一个光

9、滑子流形P上自由移动的正规测地线(称之为P一正规测地线)的存在性与多解性。Kishinoto在1998年指出，如I栗分布是强括号生成，则每一条次黎曼测地线都是正规的