空气动力学基础--流体运动方程

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1、2空气动力学基础-2-2流体运动方程空气动力学基础第2章流体动力学和运动学基础沈阳航空航天大学航空航天工程学院飞机设计教研室2014年3月第2章流体运动学和动力学基础§2.1描述流体运动的方法§2.2流体微团运动的分析§2.3理想流体运动微分方程组•2.3.1连续方程•2.3.2Euler运动微分方程组•2.3.3Bernoulli积分及其物理意义•2.3.4Bernoulli方程的应用§2.4流体运动积分方程组•2.4.1Lagrange型积分方程•2.4.2Reynolds输运方程•2.4.3Euler型积分方程§2.5环量与涡§2.3理想流体运动微分方程组2

2、.3.1连续方程连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无32关，因此适应于理想流体和粘性流体。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过。zyBB’A’CC’D’ADx§2.3.1连续方程假设六面体:ü中心点坐标为：x，y，zü中心点三个分速：u，v，wü中心点密度：ρ(x,y,z,t)üt瞬时通过垂直于x轴单位面积的流体流量为ρu,称密流;yBB’A’CC’D’ADxz将密流当一个标量看，则各面

3、中点的密流可由中心点Taylor级数展开表达。在dt时段内，从ABCD面进入的流体质量为¶(ru)dxöæm1=çru-÷dydzdt¶x2ø32è§2.3.1连续方程在dt时段内，从A’B’C’D’面流出的流体质量为：¶(ru)dxöæm2=çru+÷dydzdt¶x2øè在dt时段内，x方向净流入微分六面体的流体质量为：Dmx=m1-m2¶(ru)dxö¶(ru)dxöææ=çru-÷dydzdt-çru+÷dydzdt¶x2ø¶x2øèè¶(ru)=-dxdydzdt¶x§2.3.1连续方程同理可得，在dt时段内，由y,z方向净流入微分六面体的流体质量为：¶

4、(rv)Dmy=-¶y¶(rw)Dmz=-dxdydzdt¶zdxdydzdt由此可得，在dt时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为：Dm=Dmx+Dmy+Dmzé¶(ru)¶(rv)¶(rw)ù=-ê++dxdydzdtú¶y¶zûë¶x§2.3.1连续方程由于ρ是空间位置和时间的函数，在dt时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为：¶rù¶réDmt=êr+dtúdxdydz-rdxdydz=dxdydzdt¶tû¶t32ë根据质量守恒定律，在dt时段内从侧面净流入微分六面体的总质量，应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量：Dm=D

5、mt即：-é¶(ru)+¶(rv)+¶(rw)ùdxdydzdt=¶rdxdydzdtê¶xú¶y¶z¶tëû§2.3.1连续方程上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程，即：¶r¶(ru)¶(rv)¶(rw)+++=0¶t¶x¶y¶zr¶r+Ñ·(rV)=0¶tæ¶u¶v¶wö¶r¶r¶r¶r÷+u+v+w+rç++=0ç÷¶t¶x¶y¶zè¶x¶y¶zør¶rr+V·Ñr+rÑ·V=0¶trDr+rÑ·V=0Dtp连续方程的物理意义r¶r+Ñ×(rV)=0¶trDr+Ñ×V=0rDtrDr=0,Ñ×V=0,Dt¶u¶v¶w++=0¶x¶y¶z

6、流体微元控制体密度的局部增长率与微元控制体单位体积流出的质量流量之和等于零流体微元的相对密度增加率32与相对体积膨胀率之和为零不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。§2.3.1连续方程l连续方程是流动首先应该满足的基本关系例如，速度场：u=x+y,v=x-y,w=0满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。而速度场：u=x,v=-y,w=z则不能够代表一个三维不可压缩流动。此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出其他方向的速度分布。§2.3.1连续方程例：设不可压缩流体在xoy平面内流动，速度沿x轴方

7、向的分量u=Ax(A为常数)，求速度在y轴方向的分量v。Dr=0由微分解：对于不可压缩流动，密度的随体导数Dt形式连续方程：¶u¶v+=0¶x¶y¶v¶u¶Ax=-=-=-A¶y¶x¶x§2.3.1连续方程v=ò-Ady+f(x)=-Ay+f(32x)如果流动非定常，上式中函数f(x)则应为f(x，t)。而函数f()的形式可任取。因此v有无穷多个解。如果设v在x轴上的分布为0即f(x)＝0，则：v=-Ay§2.3.2Euler运动微分方程组lEuler运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。在流场中划出一块三边分别的为dx

8、，dy，d