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1、弹性动力学的边界无单元法*程玉民**彭妙娟(上海大学上海市应用数学和力学研究所,上海200072)(上海大学土木工程系,上海200072)摘要讨论了Hilbert空间上的改进的移动最小二乘法,并将弹性动力学的边界积分方程方法与改进的移动最小二乘法结合,提出了弹性动力学的边界无单元法.精度.条件,改进的移动最小二乘法避免了求解病态方程组,既提高了效率,又提高了边界无单元法是边界积分方程的无网格方法的直接列式法,容易引入边界且具有更高的精度.最后给出了弹性动力学的边界无单元法的数值实现方法和具体的算例.关键词移动最小二乘法边界积分方程无网格方法弹性动力学改
2、进的移动最小二乘法边界无单元法无网格方法近年来得到了较大发展,是目前计算力学研究的热点之一[1,2].无网格方法采用基于点的近似,在处理诸如大变形、裂纹扩展等问题时不需进行网格重构,具有较为明显的优越性.目前发展的无网格方法有扩散单元法(DiffuseElementMethod,即DEM)、无单元Galerkin法(Element-FreeGalerkinMethod,即EFG)、Hp-clouds无网格方法、有限点法(TheFinitePointMethod,即FPM)、无网格局部Petrov-Galerkin方法(MeshlessLocalPetr
3、ov-GalerkinMethod,即MLPG)、多尺度重构核粒子方法(Multi-ScaleReproducingKernelParticleMethod,即MRKP)、小波粒子方法(WaveletParticleMethod,即WPM)、径向基函数法(RadialBasisFunctions,即RBF)、无网格有限元法(MeshlessFiniteElementMethod,即MFEM)、移动粒子有限元法(MovingParticleFiniteElementMethod,即MPFEM)以及边界积分方程的无网格方法等.边界积分方程的无网格方法是将边
4、界积分方程方法与无网格方法中的移动最小二乘法结合而形成的.目前这一方面的研究主要有Mukherjee等人提出的边界点法(BoundaryNodeMethod,即BNM)[3~6]、Atluri等人提出的局部边界积分方2004-08-02收稿,2005-04-22收修改稿*上海市重点学科建设项目资助(批准号:Y0103)**E-mail:ymcheng@sh163.net;ymcheng@staff.shu.edu.cn程方法(LocalBoundaryIntegralEquationMethod,即LBIE)[7,8]、姚振汉等人提出的杂交边界点法(H
5、ybridBoundaryNodeMethod)[9]、以及本文作者提出的边界无单元法(BoundaryElement-FreeMethod,即BEFM)[10]等.与边界点法和局部边界积分方程方法相比,边界无单元法在形成的边界积分方程中采用节点变量的真实解为未知量,而边界点法和局部边界积分方程方法均采用节点变量的近似解为未知量.边界无单元法是边界积分方程无网格方法的直接解法.边界无单元法不仅直观而且具有较高的精度,还可方便地引入边界条件[10].本文在Hilbert空间上讨论了改进的移动最小二乘法,并将弹性动力学的边界积分方程方法与改进的移动最小二乘
6、法结合,提出了弹性动力学的边界无单元法,最后给出了弹性动力学的边界无单元法的数值实现方法和具体的算例.移动最小二乘法[1]在移动最小二乘法(Movingleast-squareapproximation)中,取试函数m1uh(x)=p(x)⋅a(x)=pT(x)⋅a(x)∑i(x∈Ω),(1)ii=1为函数u(x)的逼近函数.这里m是基函数的个数,pi(x)是基函数,的系数.基函数的通常形式为ai(x)是相应pT=(1,x)线性基:(对一维区域),(对二维区域),(对一维区域),(2)(3)(4)(5)1pT=(1,x,x)12pT=(1,x,x2)二
7、次基:11T22p=(1,x1,x2,x1,x1x2,x2)(对二维区域).对应于(1)式的整体逼近,在点x的邻域内的局部逼近定义为muh(x,x)=p(x)⋅a(x)=pT(x)⋅a(x),∑i(6)ii=1其中系数ai(x)根据加权最小二乘法来确定,它使得对函数u(x)的局部逼近误差最小.定义nJ=w(x−x)[uh(x,x)−u(x)]2∑I=1III2⎤n⎡m=∑w(x−xI)⎢∑pi(xI)⋅ai(x)−u(xI)⎥,其中w(x−xI)是具有紧支集特性的权函数,xI为点x的紧支域内的节点.(7)⎣i=1⎦I=1(7)式可用矩阵形式表示为J=(
8、Pa−u)TW(x)(Pa−u),(8)其中Tu=(u1,u2,L,un),(9)⎡p1(x1
