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1、第卷第期工程力学勺年月困七七长创王荃血已一文章编号仪仍一弹性地基板计算的无单元法张伟星,庞辉青岛建筑工程学院,山东青岛摘要本文用无单元法研究了弹性半空间地基板的弯曲问题,由滑动最小二乘法和变分原理导,,。出了地基板的无单元法刚度矩阵编制相应的无单元法计算程序并给出算例结果表明方法可行,且具有更加广泛的工程应用前景。关键词弹性地基板无单元法滑动最小二乘法变分原理中图分类号厂,文献标识码引言无单元法是一种新的数值方法,它改进了有限元法的计算过程和结果。无单元法采用滑动最小,,二乘法所产生的光滑函数近似场函数保留了有限元的一
2、些特点克服了有限元的一些不足之处,如单元网格划分工作量大,为得到光滑梯度场需进行后处理等。无单元法,沮,,夕的思想最早由娜川于年提出于年对娜的万法作了改进,提出无单元伽辽金法伍由,之后,又将无。,。单元伽辽金法作了进一步改进年周维垣等对其在平面弹性体中的应用作了研究年。沪提,出了用幂级数法计算弹性半空间地基上的矩形板和二护将有限元法用于分析弹性半空间地基上的矩形板。无单元法的插值函数根据滑动最小,二乘法场函数可被近似为‘,,,们叉幻幻幻幻,,,。二其中丫为场点为维系数向量只幻为维基向量,对于二维情况只万可如下选取收稿日
3、期作者简介张伟星,男,青岛市人,剐教授,硕士,年赴德国访问学者,主要从事计算结构力学研究弹性地基板计算的无单元法,,夕线形基,,,,,夕,少’砂二次基,,少,,砂,夕,’,夕,砂,少三次基式中的系数可通过使下式取极小而得到,尸一,艺砰戈幻,一,,‘式中试戈表示场点到节点的距离砰试表示节点权函数在点的,,。值表示幻在节点上的值由此式可写成类似有限元的近似函数表达式“幻艺电认吸即节点形函数在场点处的值。、、产州幻艺,刀吼刀了、了、、︸产、户、、吐,一‘幻,,艺班幻,,,风幻戈巩幻戈⋯⋯巩幻戈这里需特别指出的是,无单元法的形
4、,因此近函数电并不满足性质电氏似函数并不精确通过节点。由式可得到形函数的偏导为,,,,,、,,艺,,,,,一,,一‘,一,,,其中一‘一一,七一‘,‘‘函数一对于薄板问题我采用牙如︸下式一式州形式的川样分引件权名户人︺一,一、‘人几︸内了、了、‘」,·一,,。其中凤,表示点与节点间的距离风表示节点的影响半径风应适,,。当选取使在减少计算量的同时应满足式刀中的非奇异性弹性地基板的无单元刚度矩阵各向同性半空间弹性介质上的地基板,其控制方程为工程力学刀‘界,夕叮,夕,夕其中,界,力为板的挠度,,力为作用在板底的接触应力,,力
5、为作用在板面上的竖向荷载。由布氏解,接触应力,与地基变形关系式,、一,“,。试古自娜杏,,再,少八少二二尸花万二一一一丁二尸甲丁一一一二下丁井丁加,书林一引一十沙一‘厂」一,,,,,。,。其中巩为地基变形为地基的泊松比为地基剪切模量口为板域假定地基与板紧密接触,则板的位移与地基位移满足连续性条件孔沙巩沙在口内,以下,。为简便起见用牙表示板域内板的位移和地基的位移、地基板的总势能泛函万平由应变能风牙外力势能风俨和接触力势能万邢组成。应变能表达为,、汀日︸、了气了月,尸山办一砰尹、,护平护平护牙那一二,、一一一二,一卜’贪
6、“即‘一改即恤、了‘,且︵平一炎一一,,,。其中为板的弹性模量为板的泊松比为板厚外力势能表达式为,,一,,邢,今刀几范围。为荷载作用接触力势能表达式为、,,二二。,二,冲即粤乙“对泛函几砰,风砰,风牙进行变分可得基本方程组。从式可见几平中包括,,为,,。,力了进行变分必须把力表示为牙力函数形式但从式可见根据,,,,,。试与牙之间的这种联系很难把力表达为砰的函数形式因而采用在高斯点处离散,,。的方法把试与平力之间关系式离散化在板域,对式进行高斯积分得口内布置个高斯点,,、一,登气,二一门理气一下厂乙万一一气了万丁又不而‘
7、,一十一爪气沙,少万一一一一一一一一一一一一竺燮缝鱼⋯一曰巴其中,为高斯点数目,凡为第个高斯点的积分权,,为第个高斯点处接触应力值,,,。叮,夕,,夕,为第个高斯点的坐标根据式,第个高斯点处的挠度为‘上一山,,,二一门」一一一一卫爹理匕一‘、了、产、,,﹄巩平,叉一砚‘,气一,,一少,,,‘,式可写成如下矩阵形式其中︸月火,呱【闭为一矩阵任一元素表达式为一,。,一,‘一少,,,‘,气妙碱,。。的物理意义为在第个高斯点处作用一单位集中力在第个高斯点处引起的挠度。,。,由表达式可知当时会出现奇异为了进行数值计算必须消除这种
8、奇。,,异性当时我们把单位集中力等效变换为半径为的圆面积上的均布应力并对基本解进行积分,得卜一一朋凡吼一︸,综合式,可写出表达式、一,︸了,,,一,,夕,一少,’“,奔︸‘﹃一夕卜一一公对式进行变换,得一‘一‘了、,尹、,口叭俨‘凡代」‘内且少对接触力势能俨在同样的高斯点进行离散,并代入式,可得了一‘一‘一风平俨巩叭平俨俨由式,,
