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1、无拉力弹性地基板振动分析的一种方法第38卷第1期2006年2月西安建筑科技大学(自然科学版)J.Xi'anUnlv.ofArch.&Tech.(NaturalScienceEdition)Vo1.38No.1Feb.2006无拉力弹性地基板振动分析的一种方法李雪宁,刘俊卿(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)摘要:基于薄板挠曲面微分方程与振型函数微分方程在数学形式上的一致性,应用贝蒂功互等定理,引入阶梯函数,给出了解决无拉力Winkler地基板振动分析的一种方法.在此,惯性力和地基反力被视为广义荷载.可选择受单位集中力作用的简支矩形板为基本系统,将实际系统的非简支边界进
2、行适当的简化,因而可比较方便的得到具有常见约束的矩形板的固有频率,因接触区的边界不能预先确定,故需使用迭代法获得解答.关键词:无拉力Winkler地基板l贝蒂功互等定理}固有频率中田分类号:TU311.4文献标识码:A文章编号:1006—7930(2006)01—0135—05弹性地基板的振动问题在工程中有着广泛的实际应用,如机场跑道,高速公路,轮船码头等.都可以简化为弹性地基板的计算模型,在各种弹性地基模型中,Winkler地基模型得到了最为广泛的应用.但目前大都假定板与地基处处粘合,在此情况下给出结果如文献h-],这与实际情况有较大出入.这是由于地基板受力振动时,板与地基间有脱离区域
3、.在文献h-I的基础上.引入了阶梯函数.给出了无拉力地基板振动分析的一种方法.1基本方程根据弹性理论,板的挠曲面微分方程为]:,DVw(x,)一q(,)(1)当考虑地基不能承受拉力时,Winkler弹性地基板的微分方程为:Dw(x,)+kiH(w)w(x,)一口(,)(2)式中:.为二维Laplace算子,D为板的抗弯刚度,愚,为基床系数.阶梯函数:Hc,={0.0羹蛊至;c3I≤(挠度向上)在固有振动情况下,式(2)为[3]:DV4w(z,,)+五,H()叫(,,f)=一ph(4)式中:ID为板单位面积的质量,h为板的厚度.根据系统具有与时间无关而确定的振型的特性,可设w(x.Y.f)
4、一(?y)sinOot+~)(5)由此可得振型函数满足的微分方程为:D(,)+忌,H()(,)一ID^nW(,)(6)式中:以为板的固有频率.式(2)及式(6)应满足的边界条件与无地基板的边界条件是一样的,故在此不一一列出.将式(2),(6)分别与式(1)比较可知振型函数相当与板的挠曲函数,而惯性力与地基反力作为一种广义力相当于横向分布力.这样即可在系统(1)及(6)之间应用功的互等定理,从而将求解(4)的固有振动问题转化为求解(6)的静力问题.收稿日期:2004—12—08基金项目;陕西省教育厅自然科学专项基金资助项目(05JK237)作者简介;李雪宁(1976一).女,陕西富平人.硕
5、士研究生.主要从事工程力学方面的研究工作.136西安建筑科技大学(自然科学版)第38卷2贝蒂功互等定理法2.1基本系统与基本解为了应用功i等定理,我们应首先确定尺寸,形状及材料性质与实际系统一致的基本系统.为了使基本系统简单且易求解,可对矩形板取图1所示的四边均为简支边的系统作为基本系统.此时(1)式为:DVw(x,)一(—f,一7/)(7)式中;(—,一】7)为二维DiracDelta函数.(7)式的三角级数解为:一4∑∑sin(一,k.y-,(8)yD--一aab—可s1n)smkte.y)式中:愚=,警(8)式为对应于矩形板系统的基本解,用脚标"1"标明,易验证该式满足相应的简支边
6、界条件.2.2无拉力Winkler地基上矩形板的固有振动分析图1Winkler地基上四边简支矩形薄板系统Fig.1AsystemoffoursimplysupportedrectangularplateonWinklerfoundation2.2.1无拉力Winkler地基上的对边固定对边简支矩形扳t,设二0,.为简支边界,=0,b为固定边界.利用功的互等定理,将固定边界简化为简支边界,会产生附加约柬力矩My.=().及My一().[4],因而有c:[肚z一愚c硼]c捌+(d—(Ldc9设(,):∑∑Asin(愚)sin(k)(10]]0=厶Asin(愚z)(a);Myb一厶sin(愚)
7、(b)(11)另将H(硼)展开为双重正弦级数嘲,设H(硼):∑∑n(愚)sin(铀)式中:a一j.j.H()sin(k,,,x)sin(愚)dd将式(8),(10),(11),(12)代人(9)式后可得A一BCOS(肿)2k九zz+等6式中:n[1--cosc兀一二][一c.sc兀一]Q圳="————————————'_—为使形如(10)式的振型函数满足固定边上的弯矩边界条件(11)式,应将其转化为如下形式:=雨Am[一+]sin(
