1变式教学与高三数学复习

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1、变式教学与高三数学复习洪秀满【原文出处】《中学数学》（江苏），1995.10.（10～12）【作者简介】洪秀满，浙江省仙居中学（317000）我们知道，在高三数学复习课中，例题教学是一个重要环节，要使学生在解题中，广开思路，掌握规律，还要培养学生的多维性思维、分析问题和解决问题的能力，若仅仅满足一题一得往往是不够的。因此，能否充分发挥例题教学的作用，将直接影响复习课的效果。如何充分发挥例题教学的作用呢？笔者在长期的教学实践中体会到，运用变式教学是普遍有效而易行的重要途径。所谓变式，就是不断变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换问题的形式或内容，配置

2、实际应用的各种环境，而概念或问题的本质不变。简言之，就是在变化中求不变，万变不离其宗，使得学生从中获得再认识，并提高识别、应变、概括等能力，培养学生的思维品质。下面谈谈如何运用变式进行高三复习课中的例题教学。一、运用“一题多解”，培养思维的发散性一题多解的实质是解题或证明公式、定理的变式。因为它们是以不同的论正方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系。运用这种变式教学，可以引导学生对同一来源材料可从不同的角度、不同的方位思考问题，探求不同的解答方案。课本中有许多题目，由于当时所学知识和教学进度的局限性，不可能都用多种方法去研讨其解法。因此，在高三复习时，回过头来

3、做这些题目，往往有多种做法，有的甚至比以前解法来得更加简捷明快。凡课本的例、习题能做到一题多解的尽量给学生以尝试的机会。例如《解几》P111第8题：过抛物线的焦点的一条直线和这抛物线相交，两交点的纵坐标分别为、，求证：。分析：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点、，下面引导学生从不同角度进行证明：思路一：（ⅰ）当与轴不垂直，设的方程为：，代入，消去得：，即有：；（ⅱ）若轴时，显然有，，∴．思路二：（ⅰ）若与轴不垂直，由、、三点共线，即可推得：．（ⅱ）若轴（同法一）思路三：如图，自分别作准线的垂线，分别是垂足；由抛物线定义可知：，将、、的坐标代入，并化简整理得：

4、．思路四：设、，分的比为，则，消去得：．思路五：如图4，由抛物线定义，故有，，又，∴，而，，则，即．在中，有,即，而与必异号，∴．由于教学进度的局限性，此题当时只能用上述这五种方法解之，其中有几种方法还需要讨论直线与轴的关系，而学生却往往忽视这一点。如果复习阶段再回过头来解答此题，学生自然会运用直线的参数方程、极坐标等知识解之。思路六：设过焦点的直线参数方程为（为参数），代入：，化简得：。设此方程的两个根为、，则有，再由方程可知：，；∴。思路七：以为极点，为极轴，建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为。设弦的一个端点坐标为，则另一个端点的坐标为；∴。这样一来，既复

5、习了直线参数方程、极坐标等知识，同时，又能提高学生的解题能力，促进知识间的联系。二、运用“一题多变”，培养思维的灵活性一题多变是题目结构的变式，指变换题目条件或结论，变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同的角度、不同的方位指向题目的实质。用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思考，迅速想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。例如在《解几》中复习最值，教学时可选用课本P126第22题作为原命题，加以变换、拓广。原题：求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，并求出这个距离．复习时，在引导学生作出多种解答的基础上，常可作如下的分析

6、、变换：变换一：若将原题中的抛物线方程“”换为其它二次曲线，就得到如下一类问题：求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值．譬如：已知直线：，点在椭圆上运动，求点到的距离的最大值，并求此时的点坐标。再如：如果将原题中的抛物线方程“”换为“”，就得到87年的全国高考数学理科试题二（5）。变换二：若将“变换一”中定直线换为定圆（包括点圆），可得另一类最值问题：求分别在二次曲线和定圆（包括点圆），上两点间的距离的最值．例如：点在椭圆上移动，点在以点为圆心，为半径的圆上移动，当点位于，点位于时，、两点距离最近，记最近距离为，求及点、的坐标。（92年浙江省高中证书会考试题）变

7、换三：若将“变换二”中的条件与结论对调，又可得如下一类问题：设点在直线或圆（包括点圆）上运动，（待定）在一个含有某未知因素的二次曲线上运动，且已知的最大值或最小值，求点的坐标及此二次曲线的方程．例如，设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点），到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．（90年全国高考数学试题（文、理））象这样将题目演变、拓广，使题目由一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，这无疑能提高学生举一反三，触类旁通的能力。使之达到熟一类、通一类，甚至通几类。三、运用“一式变用”，培养思维的深刻性一式变用

8、是指对一个公式的变式应用