圆周角与圆心角[一]

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1、成都龙文学校个性化教育教案教师：学生：年级：时间:圆心角与圆周角本课是在学习了圆，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。【知识点清单】§Ⅰ圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2.圆心角：顶点在的角。3.弦心距：从圆心到的距离叫作弦心距，弦心距可以说成是圆心到弦的垂线段的长度。4圆

2、心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个、、或中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．的弧：把顶点在圆心的周角等分成360份时，每1份的圆心角是的角；把整个圆也被分成360份，我们把每一份这样的弧叫作的弧。6.圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数。§Ⅱ圆周角及其相关定理1．圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。注意：(1)圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②角的两边都和

3、圆相交。如下图中的角2．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理的证明：（添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线分类讨论）因为在⊙0中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况：①圆心在圆周角的“一边上”（如图⑴）②圆心在圆周角的“内部”（如图⑵）③圆心在圆周角的“外部"（如图⑶）6成都龙文学校个性化教育教案3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。【典例精析】

4、考点1:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的基本理解【例1】判断题:(1)相等的圆心角所对弦相等（　）(2)相等的弦所对的弧相等（　）(3)相等弦的弦心距相等（）(4)同圆或等圆中，两弦相等，所对弧也相等（）变式训练:1.下列说法中，正确的是（　）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等︵︵CD=2AB︵︵AB和CDE．同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等2.已知是同圆中的两条弧，且那么弦CD与2AB的大小关系为图1OBDAC【例2】(09南充)如图1，AB

5、是的直径，点C、D在上，，，求变式训练:1.如图2，在⊙O中，∠BOC=50°,OC∥AB,∠ACO=。2．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．图2考点2:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的证明、计算︵︵EC=2EA【例4】如图，AB为直径，AB⊥OC,AB=24cm，EF过CO的中点D，EF∥AB,①求证：②求EF的长。变式训练:6成都龙文学校个性化教育教案（1）已知：以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C为半圆上一点，且OC2=AC*BC，求∠CAB的度数（2）如图，在直径为6的半圆AB上有两

6、个动点M，N，弦AM、BN相交于点P，则AP*AM+BP*BN的值为多少？考点3:证明两弧相等︵︵AC=BD【例5】AB是⊙O的直径，E、F分别是AO、BO的中点，且AB⊥CE，AB⊥DF求证：●方法归纳：证明两弧相等有如下几种思路：①等弧的定义；②证圆心角相等或所对的弦相等，或所对的弦的弦心距相等；③运用平行弦夹等弧．考点4：四量关系定理的综合运用【例6】在△ABC中，AB=AC,AB交⊙O于G、H两点，AC交⊙O于F、E两点，GH=EF,BH=CE①如图1，求证：AO垂直平分BC②如图2，BF与CG交于点M，

7、连结AM并延长分别交GF、BC于点N、D，若BH=1,GH=3,GA=2,求MN:MD的值。图1图2变式训练:如图⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF．6成都龙文学校个性化教育教案(1)求证：EF的垂直平分线必过圆心．(2)若AB与CD在⊙O内相交于P，同样延长AB、CD，使BE=DF，那么是否还有(1)中相同的结论，请说明理由(如图2)．图1图2考点5：圆周角的概念理解【例7】下面命题中，正确的命题个数为（）(1)顶点在圆周上的角是圆周角．(2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．(3)的圆

8、周角所对的弦是直径．(4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【例8】已知：如图1，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于P，∠APD=,∠COB=则∠ABD=。变式训练:1.下列命题中，真命题的是（）A．同圆中，同一条弦所对的圆周角相等B．相等的圆周角所对的弧相等C．等弧所对的圆周角相等D．长度相等的弧所对的圆周角相等2.如图2，A、B、C是⊙0