圆周角与圆心角(二)

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1、圆心角与圆周角及圆内接四边形本课是在学习了圆周角与圆心角关系及圆周角相关定理后，对圆的有关知识的一个综合运用。同时引入了圆与三角形四边形的关系，解决了“圆化方”的问题，可以形成可解图形的问题。加强我们对圆的认识，提高解决与圆有关推理、论证和计算问题的能力。【知识点清单】§Ⅰ：圆心角与圆周角概念及定理回顾;§Ⅱ：确定圆的条件1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．2．三角形外心：通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个

2、三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．三角形外心是三角形三边中垂线交点。§Ⅲ：圆内接四边形(1)定义：①圆内接多边形和多边形的外接圆的概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆．②圆内接四边形和四边形的外接圆的概念：如果一个四边形的所有顶点都在同一圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠DCE为四边形的一个外角，∠A与∠BCD互为对角，∠A

3、是∠DCE的内对角．(2)性质定理a)圆内接四边形对角互补。b)圆内接四边形任一外角等于它的内对角。(3)判定定理a)一组对角互补的四边形内接于圆；b)一个外角等于它的内对角的四边形内接于圆．【典例精析】考点1:确定圆的条件及圆内接四边形基本概念理解【例1】经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．【例2】1．一个圆的内接四边形两组对边平行，则这个四边形是；若梯形内接于圆，则这个梯形是．2．已

4、知如图圆内接四边形ABCD，E是BC延长线上一点，已知∠BOD=100°,则∠DCE=．变式训练:1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形2．下列命题中的假命题是（）A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B．三角形的外心到三角形三边的距离相等5C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D．三角形任意两边的中垂线的交点是这个三角形的外心3．下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形︵︵BC=CD考点2:圆心角、圆周角的

5、有关计算【例3】如图，AB为直径，,∠CAB=25°,则∠CDO=变式训练:如图，弦CD与直径AB平行，且AC交BD于点E，若∠AED=60°，则∠ABD=，若r=3则梯形ABCD的面积为．【例4】如图，AD是⊙O直径，且AD=4㎝，弦AB=弦BC=1㎝，则CD=变式训练:1．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径，若圆的直径是5，AD的长是1，则AB·AC=2．如图，AB是⊙O直径，弦AD与BC相交于点P,且CD与AB的长分别是关于x的方程的两根，则tan∠DPB=考点3：与圆心角、圆周角有关的知识的综合运用

6、【例5】如图，△ABC中，∠ACB=90°,以C为圆心，CA的长为半径的圆分别交AB，CB于E,M,AC的延长线交圆于点D，求证：(1)△ABD是等腰三角形；(2)：CM2=CN·CB；5︵︵AB=AF【例6】如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，作弦BF交AD于E，交半圆0于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE．求证：(1)；(2)AH·BC=2AB·BE变式训练:1．如图，BE是△ABC的外接圆O直径，CD是△ABC的高，(1)求证：AC·CB=BE·CD(2)若CD=6，AD=3，BD=8，求圆O直径BE

7、的长。2．已知如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O交BC于D点，BO交AD于点E，OH⊥DC,BE︰EO=4︰1,BD=6,AD=4,(1)求DC长(2)求Sin∠CAD的值。考点4：圆的内接四边形：【例7】如图，延长圆内接四边形ABCD的边AB，CD相交于点E，AD与BC的延长线交于点F，若∠E=50°，∠F=30°求∠A的度数。变式训练:1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，G是上任意一点，AG、DC的延长线交于F。求证：∠FGC=∠AGD．52．如图，等边△ABC是⊙O的圆内接三角形，点P在上，延长CP到

8、D，使PD=PB，若AP=6，则CD=【例8】如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3