线性代数中的重要概念

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1、特征矩阵设A=方阵，则      叫做A的特征矩阵。行列式是det（）=f()是的n次多项式，叫做A的特征多项式。方程det（）＝0是的n次方程，叫做A的特征方程，它的根叫做A的特征根或特征值。性质设A=的n个特征值为，，则1)2)3)若A与B相似，则det（）=det()对角矩阵除对角线上的元素外，其余的元素都是零的方阵，叫做对角矩阵。对角矩阵形如             性质设A与B都是对角矩阵，K是数量，则A+B,KA都是对角矩阵。单位矩阵主对角线上的元素都是1，其余的元素都是零的n阶方阵，叫做n阶单位矩阵，记作E，即            性质1)

2、E

3、=

4、12)若A是与E同阶的方阵，则有AE=EA=A正交矩阵如果（或）,则A叫做正交矩阵。性质1)  若A,B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵。2)  若A是正交矩阵，则也是正交矩阵。3)  若A是正交矩阵，则detA=1或-1（det为行列式）4)     若A=是正交矩阵，则      U矩阵如果（或），则A叫做U矩阵。性质1)  若A,B都是U矩阵，则AB也是U矩阵。2)  若A是U矩阵，则也是U矩阵。3)  若A是U矩阵，则矩阵的秩矩阵A中不为零的子式的最大阶数，叫做A的秩，记为。等于A的行（列）向量组的秩。当A是方阵且行列式

5、A

6、0时，A叫做满秩矩阵；

7、A

8、＝

9、0时，A叫做降秩矩阵。性质1)r(AB)小于或等于r(A),r(AB)小于或等于r(B)2)设A是m行n列矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n阶满秩方阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)3)初等变换不改变矩阵的秩。相似矩阵如果存在满秩矩阵X，使，则叫做矩阵A与矩阵B相似，记作AB.性质1)  AA2)  若AB,则BA3)  若AB,BC,则AC.负矩阵设，则叫做A的负矩阵。性质1)A+(-A)=(-A)+A=02)-(-A)=A3)A+(-B)=A-B元素都是零的矩阵，叫做零矩阵，记作0.性质1)  A+0=0+A=A2)  0A=A3)  0A=A0=0矩阵的子式

10、　　在矩阵中，任取k行和k列，位于这些行和列的交点上的个元素原来的次序所组成的k阶方阵的行列式，叫做A的一个k阶子式。  若，则通常用表示划去所在的行和列后余下的n-1阶子式，并把叫做的代数余子式。分块矩阵用纵线与横线将矩阵A划分成若干较小的矩阵：             其中每个小矩阵叫做A的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵。性质1)2)3)  式中  4)(k是数量)  注意 用性质1）时，A与B的分块方法须完全相同；用性质3）时，A的列的分法与B的行的分法须相同。逆矩阵如果AB=BA=E,则A与B互为逆矩阵，记作或性质1)存在的充要条件是2)3)4),(

11、数量)5)6)求法1)     设A=,则           式中是的代数余子式；adjA叫做A的伴随矩阵。2)用行的初等变换把(AE)化为(EB),则3)分块求逆：             式中　　复共轭矩阵设，则叫做A的共轭矩阵，其中是复数的共轭复数。性质1)2)3)4)(k是复数)5)线性相关如果向量组中有一向量可以经其余的向量线性表出，这个向量组就叫做线性相关。性质1）线性相关的充要条件是有m个不全为零的数，使                2）向量组中如果有一部分向量线性相关，则这个向量组必线性相关。3）含有零向量的向量组必线性相关。线性无关如果向量组

12、不是线性相关，就叫做线性无关。性质1）线性无关的充要条件是：当时，必有。2）如果向量组线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关。n维向量的运算1）加、减法设，，则        2）数乘设k是数量，则           k=3）运算规律设是n维向量，k、l是数量，则①②③④⑤⑥n维向量的相等设=(),，当且仅当时，n维向量空间具有n维向量的运算的全体n维向量的集合，叫做n维向量空间，记做。性质中任意n+1个向量必线性相关，切存在n个线性无关的向量，例如。Vn的基、维数和坐标的任意n个线性无关的向量，叫做的一组基。n叫做的维数。性质中任一向量可经它的一

13、组基线性表出，表达式中的系数叫做向量在这个基下的坐标。Vn的子空间中向量组的所有可能的线性组合（是任意数量）构成的向量集合U,叫做的一个（线性）子空间。叫做U的生成向量组。U的生成向量组不唯一，但是同秩。性质1）若，则2）若，k是数量，则3）4）若，则子空间的基和维数U的生成向量组的线性无关极大组叫做U的一组基，生成向量组的秩叫做U的维数。性质1）U的维数生成向量组中向量的个数的维数n。2）r

14、数乘的运算