第一章 数列 §2 等差数列

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1、§2等差数列2.1　等差数列自主学习1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差中项如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．3．等差数列的单调性等差数列的公差d>0时，数列为递增数列；d<0时，数列为递减数列；d＝0时，数列为常数列．4．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an＝a1，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an＝dn＋(a1－d)，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在一条以d为斜率的直

2、线上，是这条直线上的一列孤立的点．5．等差数列的性质(1)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(2)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(3)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是等差数列，公差为4d.如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？答　第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….所以a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋

3、d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，…由此得出：an＝a1＋(n－1)d.第二种方法：由等差数列的定义知，an－an－1＝d(n≥2)，所以　(n－1)个将以上(n－1)个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.对点讲练等差数列的通项公式例1　若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.解　设{an}的公差为d.方法一　由题意知解得所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.方法二　因为a60＝a15＋(60－15)d，所以d＝＝＝，所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.总结　方法一

4、：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式an＝am＋(n－m)d求解．变式训练1　在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．解　方法一　设公差为d，则d＝＝＝－1，从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则　得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.等差数列的性质例2　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝1

5、5，所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.总结　要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．变式训练2　成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d

6、，a＋3d，则由题设得∴　解得或所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的判断例3　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．分析　计算bn＋1－bn＝常数，然后求出bn，最后再由an与bn的关系求出an.(1)证明　∵an＝4－(n≥2)，∴an＋1＝4－(n∈N＋)．∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.∴bn＋1－bn＝，n∈N＋.∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.(2)解　∵b1＝＝，d＝.∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.∴＝

7、，∴an＝2＋.总结　判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．变式训练3　若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明　∵，，是等差数列，∴＋＝.∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．1．证明数列{an}为等差数列的方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n≥1)⇔{an}为等差数列或an

8、－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an