(3)空间直之异面直线

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1、空间直线高考要求　　1能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形能够根据图形想像它们的位置关系2会用几何法或向量法计算两异面直线的夹角和距离知识点归纳1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：．3等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线

2、所成的锐角(或直角)相等5空间两条异面直线的画法6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．9．求异面直线所成的角的方法：几何法：（1）通过平移，

3、在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求向量法：用向量的夹角公式10两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．7两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条计算方法：①几何法；②向量法题型讲解例1A是△BCD平面外的一点

4、，E、F分别是BC、AD的中点，（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角（1）证明：用反证法假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线（2）解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为4

5、5°点评：①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”注意，异面直线所成角的范围是（0，］例2长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值（1）解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为bAA1为

6、异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c过B作BE⊥B1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE==，即AB与B1C的距离为（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OF∥D1B，∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角∵AO=，OF=BD1=，AF=，∴在△AOF中，7cos∠AOF==解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则AC∥BG，∴∠D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角BD1=，BG=，D1G

7、=，在△D1BG中，cos∠D1BG==－，故所求的余弦值为解法三：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算例3设异面直线a与b所成的角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l有且仅有几条?解：过点O作a1∥a，b1∥b，则相交直线a1、b1确定一平面αa1与b1夹角为50°或130°，设直线OA与a1、b1均为θ角，作AB⊥面α于点B，BC⊥a1于点C，BD⊥b1于点D，记∠AOB=θ1，∠BOC=θ2（θ2=25°或65°），则有cosθ=cos

8、θ1·cosθ2因为0°≤θ1≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2当θ2=25°时，由0≤cosθ≤cos25°，得25°≤θ≤90°；当θ2=65°时，由0≤cosθ≤cos65°，得65°≤θ≤90°故当θ<25°时，直线l不存在；当θ=25°时，直线l有且仅有1条；当25°<θ<65°时，直线l有且仅有2条；当θ=65°时，直线l有且仅有3条；当65°<θ<90°时，直线l有且仅有4条；当θ