级数收敛与子级数收敛的关系

《级数收敛与子级数收敛的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、级数与子级数的敛散性关系王仕堂（楚雄师范学院数学系2005级1班）指导老师郎开禄摘要:受数列与子数列的敛散性关系的启发，本文引入了子级数，段子级数子函数级数，段子函数级数的概念，并讨论获得了级数与子级数的敛散性关系，级数与段子级数的敛散性关系，函数级数与子函数级数的敛散性关系，函数级数与段子函数级数的敛散性关系.关键词:级数;子级数;敛散性关系Therelationshipofconvergenceanddivergencebetweenseriesandsub-seriesWangShiTanAbstract:Thisessayintroducestheconc

2、eptsofsub-series,-segmentsub-series,sub-functionseries,-segmentsub-functionseries,whichinspiredbytherelationshipofconvergenceanddivergencebetweensequenceandsub-sequence.Thusweacquiretherelationshipofconvergenceanddivergencebetweenseriesandsub-series,betweenseriesand-segmentsub-series,

3、betweensub-functionseriesandfunctionseries,andtherelationshipofuniformconvergencebetweenfunctionseriesandsub-functionseries.Keywords:series;sub-series;relationshipofconvergenceanddivergence导师评语：在文[1]（[1].刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义（上）[]第四版,北京:高等教育出版社，2003：64-66.）及文[2]（[2].华东师范大学数学系.数学分析（上）[],第三版,北

4、京：高等教育出版社,2002：32-33.）中引入数列与子数列的概念,获得了数列与子数列的敛散性关系.受文[1]和[2]的启发,王仕堂同学的毕业论文<<级数与子级数的敛散性关系>>进一步研究,获得了级数与子级数的敛散性关系(定理4至定理9),函数级数与子函数级数的敛散性关系(定理10至定理15)，函数级数与子函数级数的一致收敛性关系（定理16至定理17）.王仕堂同学的毕业论文<<级数与子级数的敛散性关系>>选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得级数与子级数敛散性关系的六个定理,函数级数与子函数级数敛散性关系的六个定理,函数级数与子函数级数一致收敛关系的两

5、个定理.该论文完成有一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中,悟性好,爱钻研,能吃苦,独立性较强.10级数与子级数的敛散性关系前言数列与子数列的敛散性之间有紧密的关系，应用子级数的敛散性关系判定数列的敛散性是判定数列敛散性的一个基本方法.受数列与子数列的敛散性关系的启发，本文引入了子级数，段子级数，子函数级数，段子函数级数)的概念，并讨论获得了级数与子级数的敛散性关系，级数与段子级数的敛散性关系，函数级数与子函数级数的敛散性关系，函数级数与段子函数级数的敛散性关系.1数列与子数列

6、的敛散性关系关于数列与子数列的敛散性，在[1],[2]中，有定理1若数列收敛于，则的任意子数列也收敛于.定理2数列收敛于均收敛于.定理3数列收敛于的任意子列均收敛于.2级数与子级数的敛散性关系2.1级数与子级数的敛散性关系受[1],[2]的启发，我们引入级数的子级数的有关概念,并讨论级数与子级数的敛散性关系.定义1设有级数，若是一列自然数，且则称是级数的一个子级数.关于级数与子级数的敛散性关系，我们有定理4若级数,,收敛，则收敛，且.证明设级数，，，的部分和分别为，，，，且，，，则；；.于是10，，.故由定理3知，级数收敛，且.对于正项级数，我们有定理5若,则收敛

7、,,收敛,且.证明（1）必要性设级数，，，的部分和分别为，，，.因收敛，故存在某正数，对于一切正整数有.于是；；，故正项级数，的部分和数列都有上界，因此级数，，收敛.同定理4一样，可证得.(2)充分性可由定理4直接得.一般地，我们有定理6若级数，，收敛，则也收敛，且.证明设级数,，，，…，的部分和分别为，，，…，，，且=，，，，.则10；；；…….于是；；；……；所以.故由定理3知级数收敛，且.对于正项级数，一般地，我们有定理7若,则级数收敛，，收敛，且.证明（1）必要性设级数，，，，…，，的部分和分别为，，，，…，，，且.因为级数收敛，故存在某正数，对于一切正整

8、数有.于是