级数的收敛求和与展开

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1、习题课级数的收敛、求和与展开机动目录上页下页返回结束三、幂级数和函数的求法五、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、幂级数收敛域的求法第十一章四、求数项级数的和求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;机动目录上页下页返回结束一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法机动目录上页下页返回结束3.任意项级数审敛法:绝对收敛、条件收敛判别交错级数收敛的Leibniz判别法:例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:则由题设收敛收敛收敛练习题:P2571;

2、2;3;4;5机动目录上页下页返回结束解答提示:P257题2.判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,机动目录上页下页返回结束利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,利用p级数可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,机动目录上页下页返回结束P257题3.设正项级数和也收敛.提示:因存在N>0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时机动目录上页下页返回结束P257题4.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不

3、一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取机动目录上页下页返回结束P257题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)P>1时,绝对收敛;0

4、题7.求下列级数的敛散区间:练习:机动目录上页下页返回结束解:当因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.故收敛区间为机动目录上页下页返回结束解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;机动目录上页下页返回结束例2.解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵原级数=∴其收敛半径注意:机动目录上页下页返回结束•求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和•映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）机动目录上页下页返回结束练习:解:(1)显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0P258题8.求下列幂级数的和函数：级数发散,机动目录上

5、页下页返回结束(4)机动目录上页下页返回结束显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有x=1时,级数也收敛.即得机动目录上页下页返回结束例1.求幂级数法1易求出级数的收敛域为机动目录上页下页返回结束例2求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则机动目录上页下页返回结束例1上页下页返回结束四、求数项级数的和1.利用级数和的定义求和:2.阿贝尔法(构造幂级数法)例2解：上页下页返回结束则从而解:原式=的和.P258题9(2).求级数机动目录上页下页返回结束3.利用函数的展开式五、函数的幂级数和付式级数展开法•直接展开法•间接展开法练习:1.将函数展开成x的幂级数.—利用已知

6、展式的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:机动目录上页下页返回结束1.函数的幂级数展开法2.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.解:于是并求级数机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束P2576(2);7(3);8(2);9(1);10(1);作业机动目录上页下页返回结束求的和函数解:去分母常求导,去分子常积分,逐项求导得再逐项求导,得分部积分,得练习1上页下页返回结束的和函数解:练习2求上页下页返回结束练习3解上页下页返回结束P2589练习4、设是周期为的周期函数，在上的表达式为(1)求傅里叶系数(2)写出上傅里叶系数的和函数的表达式解:分段表示（略）上页下页返回结束(3)求

7、时的值解：由图与函数的周期性可知：上页下页返回结束