习题课 级数的收敛、求和与展开

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1、习题课级数的收敛、求和与展开三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法1求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;2一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限33.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛4例1.若级数均收敛,且证明级数收敛.证:

2、则由题设收敛收敛收敛5例2.判别下列级数的敛散性:提示:(1)据比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,6利用比值判别法,可知原级数发散.用比值法,可判断级数因n充分大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与p级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,7例3.设正项级数和也收敛.提示:因存在N>0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当n>N时8例4.设级数收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取9例5.讨论下列级数的绝对

3、收敛性与条件收敛性:提示:(1)P>1时,绝对收敛;0

4、逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等•初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）•数项级数求和16例1.求幂级数法1易求出级数的收敛域为17法2先求出收敛区间则设和函数为18例2.解:(1)显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0求下列幂级数的和函数：级数发散,1920显然x=0时,和为0;根据和函数的连续性,有x=1时,级数也收敛.即得21例3:解:原式=的和.求级数22因此由和函数的连续性得:而及23例8.解:设则24四、函数的幂级数展开法•直接展开法•间接展开法例题:1.将函数展开成x的幂级数.—利用已知展式

5、的函数及幂级数性质—利用泰勒公式解:1.函数的幂级数展开法252.将在x=0处展为幂级数.解:因此263.设,将f(x)展开成x的幂级数,的和.(01考研)解:于是并求级数2728五、函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法上的表达式为将其展为傅氏级数.例题1.设f(x)是周期为2的函数,它在解答提示29思考:如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理,当x=0时,有提示:30