暨南大学2005—2007年真题(高等代数)

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1、暨南大学2005——2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数）2005年1、（20’）设是大于1的整数，，证明：整除的充要条件是c=-m2、(20’)设阶行列式，（1）当时，为整数，计算（2）当时，为整数，证明3、(15’)下列线性方程组的系数行列式，的某个元素的代数余子式，证明：这个方程组的解都可以写成的形式，为任意数.4、(20’)设，是两个级方阵，证明：与有相同的特征多项式5、(20’)将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换..6、(15’)设表示向量,,生成的实向量空间的子空间，把的一个基底扩充成的一个基.7、(20’)设是实

2、向量空间的线性变换，对任意向量,.求的特征根与特征向量.8、(20’)设是维线性空间的线性变换，且的值域与的核重合，证明：（1）是偶数；（2）如何选取的基，才能使在这个基下的矩阵是若尔当（）标准形，并写出这个标准形.2006年一、选择题(每小题5分)1、用多项式除多项式所得的余式（）2、如果是一个非零多项式，且,,则一定有因子：（）3、如果行列式的第一行第一列元素的代数余子式，则（）.4、由行列式定义的的多项式的最高项系数是（）.5、如果齐次线性方程组只有零解，则（）.6、如果向量组是线性无关组，则（）也是线性无关组.7、一个矩阵的对角线上方元素全为零，称为下

3、三角矩阵，则（）.任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵；任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵；任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆；任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆；前面的答案均不对.8、设和均是实数域上的同一个向量空间的基，从基到的过渡矩阵为，即，向量空间中的向量关于基的坐标为，即，则向量关于基的坐标为（）9、三元二次型可能的规范型是：（）10、当（）时，二次型正定.11、()是实数域上次数不超过3次的多项式作成的向量空间的一组基.12、若尔当矩阵满足的充要条件是（）.13、区间上所有实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数

4、域上一个向量空间，该空间是（）.14、如果是阶实矩阵，是的特征多项式，则（）.15、区间上所有可微实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上的一个向量空间，由生成的子空间关于微分变换是（）.16、矩阵的初等因子是（）.17、设，都是维欧氏空间中给定的非零行向量，是阶单位矩阵.令，则矩阵（）.18、如果是实正交矩阵的实特征值，则（）19实数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是（）.20、如果是欧氏空间的一组标准正交基,则（）是的正交补空间的一组基。一、在下列题目中选做5题.（每题10分）1、设多项式.证明：是有理数域上的不可约多项式.2、求多项

5、式的重根.3、设是主对角线上元素全为2而邻近主对角线的上下两条对角线上元素全为1、其余全为零的阶矩阵的行列式，试导出、、的递推关系，并由此得出的计算公式.4、设矩阵，即为上次对角线上元素全为1，最后一行元素依次为的阶矩阵，试证明的特征多项式，其中是阶单位矩阵.5、对参数的不同取值，讨论下面方程组的可解性，在可解时求出其解的一般公式.设是实正交矩阵，且特征值全为实数.证明：是对称矩阵.1、设，证明：对一切自然数成立，其中是2阶单位矩阵.2、设是阶实对称矩阵，其特征值中最大者是，最小者是。由定义的二次型为证明：元函数在维单位球面上的最大值是，最小值是.3、如果是实

6、数域上的一个有限维欧氏空间，而是是的一个保持内积不变的变换，即对任意，.证明：是欧氏空间上的线性变换.10、若、是实数域上向量空间的两个线性变换，且具有关系，其中是的恒等变换.证明：对一切大于1的自然数成立.2007年一、判断下列命题的正误.（每小题3’，共30’）1、如果是实数域上的次数不小于1的多项式，则是实数域上的不可约多项式的充要条件是：“对实数域上任意两个多项式，只要，必有或”.（）2、如果，则全体级排列中奇、偶排列总数均为.（）3、如果一个元齐次线性方程组中每个方程的未知数系数之和全为0，则该方程组有非零解.（）4、如果维行向量组线性无关且能由维行

7、向量组线性表示，则向量组线性无关.（）5、一个阶实方阵可逆的充要条件是：该矩阵的列向量全体构成维列向量空间的一个基.（）6、两个实二次型合同当且仅当它们对应的实对称矩阵均与对角矩阵合同（）7、如果是实数域上的8维线性空间，则有无限组两两互异的基.（）8、如果是实数域上的有限维线性空间，则的与全体可逆线性变换可以交换的线性变换是数乘变换.（）9、一个的矩阵可逆的充要条件是：“行列式是一个非0常数”.（）10、如果是维线性空间的一个线性变换，则是正交变换的充要条件是：“变的某组基为标准正交基”.（）二、在每个题后给出的5个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母

8、填写在答题纸上：（每小题4’,共40’