梯形中常见的辅助线

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1、梯形中的常见辅助线一、平移1、平移一腰：例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.解：过点D作DE∥BC交AB于点E.又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。解：过点B作BM//AD交CD于点M，在

2、△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：5－4

3、C=4，求梯形ABCD的面积．解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．ABDCEH∵AD∥BC∴四边形ACED是平行四边形∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．作DH⊥BC于H，则．例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=

4、BD=，所以在△ACE中，，从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。解：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=

5、80°。所以∠E=50°，从而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD是等腰梯形.证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于

6、BC，∴四边形ABCD是等腰梯形.三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。四、作梯形的高1、作一条高例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，

7、交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，ABCDDEDFD又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DC∵在Rt△ABE中

8、，∠B=60°，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，∴例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=