在纯几何上剖析四维超立方体

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1、在纯几何上剖析四维超立方体作者：Wxy构造：四维超立方体是三维立方体的类比，有很多性质都与三维立方体类似，但毕竟多了一维，所以也肯定会有一些其他的更复杂的性质。很多性质在维^基百科和百度百科上都有，这里就不再重复了。让我们从几个方面对超立方体的几何性质做点了解。截面法：立方体一个面正对着穿过超立方体一个胞(正方体)正对着穿过无↓↓突然出现一个正方形突然出现一个正方体↓↓过一会儿消失过一会儿消失立方体一条棱正对着穿过超立方体一个二维面(正方形)正对着穿过一条线一个正方形↓线慢慢变宽变成长方形↓慢慢变厚变成有两个面是正方形的长方体变成最大的长方形（长宽比

2、1：根号2）变成最大的长方体（长宽高比1：1：根号2）↓↓长方形慢慢变窄，最后变成一条线消失长方体慢慢变薄，最后变成一个正方形消失立方体一个顶点正对着穿过超立方体一条棱正对着穿过一个点一条线↓点慢慢变大成三角形↓线慢慢变粗变成三棱柱三角形开始截角，变成六边形三棱柱截棱，变成六棱柱↓↓变成正六边形后，恢复为倒三角形变成正六棱柱后，恢复为三棱柱↓↓倒三角形缩成点三棱柱变细，变成线最后一个特殊的：超立方体一个顶点正对着穿过一个点↓点慢慢变大成正四面体正四面体开始截角↓正四面体被完全截角，变成正八面体↓变成正八面体后，恢复成倒着的正四面体↓正四面体缩成点后附

3、各特殊方向上的截面变化图：平行投影法：超立方体平行投影方向很多，但我选的是能反映出四维方体每条边等长，且八个立方体胞全等的投影图。首先，我们得把这八个正方体胞找到。观察一下我们不难发现，只要找到了这些标有字母的黄色小正方形（其实它们并不存在，只因投影时的线条重合），我们就能找到对应的立方体胞。比如黄色小正方形A所对的立方体为91232—815101。以后为了方便，我们就以这些字母代指立方体胞。不难看出A—EB—FC—GD—H为四对不相邻的胞，顶点之间的距离有四种：1、根号2、根号3、2其中距离为2的一对顶点是相距最远的。如1—5、2—6、10—14、

4、12—16。这幅图构造巧妙，但也并不难画。先画一个八角星，再以八角星的每条线向外做正方形，将顶点正确链接即可。那这幅图还有什么用呢？在这幅图里，我们可以轻易地找到那个超立方体里最大的截面正八面体（比如八面体3—15139—7），以及超立方体的“对角胞”（比如长方体110158—114514）——好比正方体有6个对角面，而超立方体共有24个对角胞，每个都是1*1*根号2的长方体。超立方体的平行投影图还是我们寻找图形的位置关系的绝佳方法。我们可以在超立方体中找到线面、面面、面胞等关系。这里只列举不共胞的关系。线面关系：异胞（如面23129与直线56）（即

5、既不平行也不相交）面面关系：共点（如面23129与面125615交于点12，且绝对垂直）面面关系：异胞（半平行）（如面23129与面14567无公共元素，半平行半垂直）线胞关系：平行（如胞D与线78）线胞关系：相交（如胞D与线67只交于点6）面胞关系：平行（如胞D与面121116）面胞关系：相交（如胞D与面14567交于线615）胞胞关系：平行（如胞D与胞H）胞胞关系：相交（如胞D与胞E交于面45613）我们还能够在投影图中找一个平面的法平面。比如找面1313（红色面）的法平面。只要我们找到两条相交直线都垂直于这个平面，则那个相交直线确定的平面就绝对

6、垂直与这个平面。因为面1313在胞B内，所以我们不妨在胞B内找一条面1313的法线，即1011（由立体几何中三垂线定理不难得证），那么直线1011即为一条我们要找的直线。而胞B垂直于线1015，所以在胞B内的面1313也垂直于线1015。这样，由线1015、线1011确定的平面10111415即为所求法平面。（蓝色面）它们的唯一公共点在线段1011上靠近10的三分点处。投影图还可以帮我们分析截面。既然说四个点可以确定一个胞，那我在超立方体里任选四个不共面的顶点都可以确定一个胞。就像我们做立体几何体一样，有时这四个顶点组成的四面体胞并不是完整的超立方体

7、中的截面，我们可以“补形”，将其截胞补充出来。如点1、点15、点9、点13（红色标出）所确定的胞（设为胞Π）就需要“补形”。我们注意到顶点9和顶点13是一组相对的顶点（即距离最远，为2）则线段913过超立方体体心（暂记为点O）。所以胞Π过点O。而点1与点O所在直线也该属于胞Π，又因为点1、点O、点5共线，所以点5也属于胞Π。类似地，我们可知，点15、点O、点11也共线，则点11也属于胞Π。（补出来的点用黑色标出）把这些点连起来（注意相对点不能相连，因为连成的体对角线在超立方体内部，不是截面的边界图形）。再计算一下我们发现，除了这些相对顶点之外，其余任

8、何两点之间的距离均为根号二。这说明胞Π与超立方体八个胞都相交，得截超立方体为一正八面体胞。怎么确定你的形状补