1.4极限的性质与四则运算法则

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1、第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设，（i）若，则，当时，。（ii）若，必有。证明：（i）先证的情形。取，由定义，对此，当时，，即。当时，取，同理得证。（ii）(反证法)若，由(i)矛盾，所以。当时，类似可证。注：(i)中的“”，“”不能改为“”，“”。在(ii)中，若，未必有。二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此

2、需寻求一些方法来求极限。定理1：若，则存在，且。证明：只证，过程为，对，当时，有，对此，，当时，有，取，当时，有所以。其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理2：若，则存在，且。证明：因为，（均为无穷小），记，为无穷小，。推论1：（为常数）。推论2：（为正整数）。定理3：设，则。证明：设（为无穷小），考虑差：其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以，。注：以上定理对数列亦成立。定理4：如果，且，则。【例1】。【例2】。推论1：设为一多项式，当。推论2：设均为多项式，且

3、，则。【例3】。【例4】（因为）。注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。【例5】求。解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以。【例6】求。解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，，所以。【例7】求。解：当时，，故不能直接用定理5，又，考虑：，。【例8】若，求a,b的值。当时，，且【例9】设为自然数，则。证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：【例10】求。解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：原式。【例11】证明为的整数部分。证明：先考虑，因为是有界函

4、数，且当时，，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得。三、课堂练习：四、布置作业：