极限的四则运算法则 .极限的性质与四则运算法则

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1、极限的四则运算法则1.4极限的性质与四则运算法则第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设limf(x)=A，x®x0（i）若A>0(A<0)，则$d>0，当xÎU(x0,d)时，f(x)>0(f(x)<0)。（ii）10若f(x)³0(f(x)£0)，必有A³0(A£0)。ÙA证明：（i）先证A>0的情形。取e=，由定义，对此e,$d>0，当xÎU(x0,d)时，2A

2、AAA3Af(x)-A0。22222A当A<0时，取e=-，同理得证。2Ù（ii）(反证法)若A<0，由(i)Þf(x)<0矛盾，所以A³0。当f(x)<0时，类似可证。注：(i)中的“>”，“<”不能改为“³”，“£”。在(ii)中，若f(x)>0，未必有A>0。二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若limf(x)=A,limg(x)=B，则lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=A±B=limf(x)

3、±limg(x)。证明：只证lim[f(x)+g(x)]=A+B，过程为x®x0，对"e>0,$d1>0，当有f(x)-A<00，当0

4、imf(x)×g(x)存在，且limf(x)g(x)=AB=limf(x)×limg(x)。证明：因为limf(x)=A,limg(x)=B，Þf(x)=A+a,g(x)=B+b,10（a,b均为无穷小）Þf(x)g(x)=(A+a)(B+b)=AB+(Ab+Ba+ab)，记g=Ab+Ba+ab，Þg为无穷小，Þlimf(x)g(x)=AB。推论1：lim[cf(x)]=climf(x)（c为常数）。推论2：lim[f(x)]n=[limf(x)]n（n为正整数）。定理3：设limf(x)=A,limg(x)=B¹0，则limf(x)Ali

5、mf(x)==。g(x)Blimg(x)证明：设f(x)=A+a,g(x)=B+b（a,b为无穷小），考虑差：f(x)AA+aABa-Ab-=-=g(x)BB+bBB(B+b)其分子Ba-Ab为无穷小，分母B(B+b)®B2¹0，我们不难证明1B(B+b)有界（详细过程见书上）Þf(x)A=。10g(x)BBa-Abf(x)A=+g，为无穷小，记为g，所以B(B+b)g(x)BÞlim注：以上定理对数列亦成立。定理4：如果j(x)³y(x)，且limj(x)=a,limy(x)=b，则a³b。【例1】lim(ax+b)=limax+limb

6、=alimx+b=ax0+b。x®x0x®x0x®x0x®x0【例2】limxn=[limx]n=x0。x®x0x®x0n推论1：设f(x)=a0xn+a1xn-1+LL+an-1x+an为一多项式，当x®x0limf(x)=a0x0+a1x0nn-1+LL+an-1x0+an=f(x0)。推论2：设P(x),Q(x)均为多项式，且Q(x0)¹0，则lim【例3】lim(x2-5x+10=12-5´1+1=-3。x®1P(x)P(x0)。10=x®x0Q(x)Q(x0)x3+7x-903+7´0-95==-30-0+3¹0）【例4】lim5

7、（因为。5x®0x-x+30-0+3注：若Q(x0)=0，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。x2+x-2【例5】求lim2。x®12x+x-3解：当x®1时，分子、分母均趋于0，因为x¹1，约去公因子(x-1)，x2+x-2x+23=lim=。所以lim2x®12x+x-3x®12x+3513-3)。x®-1x+1x+113,3解：当x®-1,全没有极限，故不能直接用定理3，但当x¹-1时，x+1x+1【例6】求lim(13(x+1)(x-2)x-2，所以10-3==22x+1x+1(x+1)(x-x+1)x-x+1lim(13x-2

8、-1-2-3)=lim2==-1。x+1x+1x®-1x-x+1(-1)2-(-1)+1x®-1x2【例7】求lim。x®2x-2解：当x®2时，x-2®0，故不能直接用定理5，