不动点定理-网络1

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1、一、不动点算法又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rn中的一紧致凸集,ƒ为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=ƒ（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A ，ƒ(x)为A的一子集。若ƒ(x)具有性质：对A上的任一收敛序列xi→x0，若yi∈ƒ(xi)且yi→y0，则有y0∈ƒ(x0),如此的ƒ(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为Rn中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若ƒ(

2、x)为A的一非空凸集，且ƒ(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 　　不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R 内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划（目前暂且认为凸规划就是非线性规划，读者注）问题：min{ƒ(x)│

3、gi(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g1,g2,…,gm皆为Rn中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。 　　在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 　　H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n 维单纯形Sn为例来说明这一概念

4、，在此,。对每一i,将区间0≤xi≤1依次分为m1,m2…等分，m10}。由著名的施佩纳引理,在Gi

5、中必存在一三角形σi，它的n+1个顶点yi(k)的标号分别为k(k=1,2,…,n+1)于是可得一列正数ij(j→),使得(k)→yk,k=1,2,…,n+1。根据σi的作法，当ij→时,收敛成一个点x。故yk=x,k=1,2,…,n+1。因 (k)的标号为k,故yk∈Ck,因而即x为所求的不动点。因此,求ƒ(x):Sn→Sn 的不动点问题就化为求σi(i=1,2,…)的问题。为了计算上的效果，除了上述的标号法之外，还有标准整数标号法、向量标号法等等。关于如何求σi，有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等，通过适当定义,可将上之Sn改为Rn或Rn中之一凸集

6、。求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题。一般说来，这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况。 　　参考书目 　A.J.J.TalmanVariableDimensionFixedPointAlgorithmsandTriangulations,MathematischCentrum,Amsterdam,1980. 二、Prof.YuguangXu(徐裕光教授)（KunmingUniversity,China(雲南省昆明學院)）Fixedpointtheoryanditsapplications（在台湾成功大学所作的报告） 不动点理论研究

7、的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴。研究出的结果被广泛应用于分析数学，力学，微分方程，控制理论，最优化理论，非线性规划，数理经济学和博弈论等应用性学科。(一)．不动点理论的发展进程• 一个简单的不动点问题（微积分中）；• 1909年，Brouwer的著名的 不动点定理 及一系列的论文创立了不动点理论；• 1922年,波兰著名数学家S.Banach给出了一个既简单又实用的 压缩映射原理， 它也是一个不动点定理。在简单的条件下，Banach压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性，还提供了一种逼近不动点的方法；• 1967年，美国数学家H.E.Sc

8、arf找到