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1、www.czsx.com.cn25.奇数、偶数与奇偶分析知识纵横整数按能否被2整除分为两大类:奇数和偶数,奇数与偶数有下列基本性质:1.奇数≠偶数2.两个整数相加(减)或相乘,结果的奇偶性如下表所示3.若干个奇数之积是奇数,偶数与任意整数之积是偶数;偶数个奇数的和为偶数,若干个偶数的和为偶数.4.设m、n是整数,则m±n,│m±n│的奇偶性相同.5.设m是整数,则m与│m│、m的奇偶性相同.奇偶性是整数的固有属性,通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法.例题求解【例1】三个质数之和为86,那么这三个质数是______.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨运
2、用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性入手。解：(2,5,79),(2,11,73),(2,13,71),(2,23,61),(2,31,53),(2,37,47),(2,41,43)【例2】如果a、b、c是三个任意整数,那么、、().A.都不是整数B.至少有两个整数C.至少有一个整数D.都是整数(2001年TI杯全国初中数学竞赛题)思路点拨举例验证或从a、b、c的奇偶性说明.解:选C提示:a、b、c中至少有两个数的奇偶性相同,则a+b、b+c、c+a中至少有一个为偶数.【例3】(1)设1,2,3,9的任一排列为a1,a2,a3,…,a9。求证:(
3、a1-1)·(a2-2)…(a9-9)是一个偶数.(2)在数11,22,33,44,55,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置“＋”或“－”号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明:这个代数和必定不等于2003.思路点拨(1)转换角度考察问题,化积的奇偶性为和的奇偶性来研究;(2)由于任意添“＋”号或“－”号,形式多样,因此不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手.-8-www.czsx.com.cn解:(1)因(a1-1)+(a2-2)+…+(a9-9)=(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9)=0,故a1-1、a2-2…a
4、9-9这9个数不可能全为奇数,即这9个数中至少有一个为偶数,从而它们的积必为偶数.(2)11,22,33,20022002,20032003的奇偶性依次与1,2,3,…2002,2003的奇偶性相同,因此,在11,22,33…20022002,20032003的前面任意放置“＋”或“－”的代数和的奇偶性与1+2+3+…+2003的奇偶性相同为偶数,而2003为奇数.【例4】已知x1,x2,x3,…,xn都是+1或-1,并且+++…++=0。求证:n是4的倍数.思路点拨可以分两步,先证n是偶数2k,再证明k是偶数,解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发,挖掘
5、隐含的一个等式.解:提示:、、…不是+1就是-1,设这n个数中有a个+1,b个-1,则a+b=n,a×(+1)+b×(-1)=a-b=0,得n=2b,又(·…)=1,即(+1)a·(-1)b=1,由此得b为偶数,又b=2m,则n=4m,故n是4的倍数.【例5】游戏机的“方块”中共有下面７种图形，每种“方块”都由4个1×1的小方格组成.现用这7种图形拼成一个7×4的长方形(可以重复使用某些图形),问:最多可以用这7种图形中的几种图形?思路点拨为了形象化地说明问题,对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色,除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,其余6
6、个方格各占2个黑格2个白格.解:用其中的六种不同的图形方块可以拼成7×4的长方形,方法很多,如图①仅出示一种:下面证明不能7种图形方块都各有一次.将7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色.则如图②所示,黑、白格各14个.若7×4的长方形能用7个不同的方块拼成,则每个方块用到一次且只用一次.其中“品字形”如图③-8-www.czsx.com.cn必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格,其余6个方块各占2个黑格2个白格.7个不同的方块占据的黑格总数、白格总数都是奇数个,不会等于14.矛盾.因此,不存在7种图形方块每个各用一次,拼成7×4的长方形的方法.所以,要拼成
7、7×4的长方形,最多可以用这7种图形方块中的6种.【例6】在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6,打乱次序后,将纸片翻过来,在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数,然后计算每张纸片正面与反面所有数字之差的绝对值,得出6个数,请你证明:所得的6个数中至少有两个是相同的.(2001年北京市竞赛题)思路点拨从反面入手,即设这6个数两两都不相等,利用│ai-bi│与ai-bi(i=1,2,3,4,5,6)的奇偶性相同,引入字母进行推理证明.解:提示:设6张卡片正面写的数是a1,a2,a3,a4,a4,a5,反面写的数对应为b1,b2,b3,b4,b5,b
8、6,则这6张卡片正面写的
