全等三角形的判定及角平分线的判定

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1、全等三角形的判定及角平分线的判定、性质目标：1.掌握全等三角形的判定定理三、四、五以及它们的综合运用。2.角平分线的判定以及性质。重点：全等三角形的判定定理的综合运用。角平分线的判定以及性质。难点：全等三角形的判定定理的综合运用。内容：一、判定定理三：两角及(夹边对应相等)，那么两个三角形全等。（ASA)例1.阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD≌△COB．证明：在△AOD和△COB中，图4－4∴△AOD≌△COB（ASA）．问：这位同学的回答

2、及证明过程正确吗？为什么？在我们证明的过程中，一定要看清楚，判定定理要求的条件，比如在上题中我们看到，已知OA=OB,角A=角B，那我们知道一条边以及它的邻角，要证它们全等的话，第一种方法是证OC=OD,这种方法是SAS，第二种方法是证明角A=角B,这种方法是ASA,第三种方法是证明OC=OD,AD=BC这种方法是SSS.最后我们的结论是：不全等。在三角形AOD和三角形COB中，角A=角C,OA=OB,角AOD=角COB因为OB不是角C和角BOC的夹边。所以不符合ASA的判定条件因此两个三角形不全等。通过这一题，我们知道了在判定三角形全等的时候，若已知一边与一角，可以证明已知角的另一

3、边相等，这时用的是SAS.或者证明一角相等，用AAS,ASA.如果学生能明白的话，就分情况说明。如果是一边及其邻角的话，可以证明这边的另外一角。ASA.也可以证明第三个角相等，用的是AAS.如果是一边及其对角的话，可以证明剩下两角中任意一角相等，用的是AAS.如果已知两角相等，可以证明它们的夹边相等，用的是ASA也可以证明剩下的任意两边中的一边相等，用的是AAS.）全等三角形判定方法4——“角角边”（即______）指的是______AAS______________________________________________________________________例2

4、.解析：（1）有垂直我们想到有直角，即是角CAD等于90度，角BAE等于90度。角E=角B,DE=CB我们知道这一角一边之间是什么关系？即是一边及其邻角。一直一边及其邻角的话，我们用的是什么方法？我们可以找这边的另一个邻角。用的是ASA.或者用这边的对角相等。用的是AAS.由题意知道，第一种方法不容易证明。我们用第二种方法。解：因为有两个垂直所以角CAD=角BAE=90度所以角CAD+角DAB=角BAE+角DAB即角CAB=DAE在三角形BAC和三角形DAE中；角B=角E角CAB=角DAEDE=CB所以两个三角形全等。练习这个题是去年洛阳市的期末考试题。二、斜边与一直角边对应相等的两

5、个直角三角形（可以简写成“”或“”）HL例3.、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？解析：在这个题里面，我们看到AC=AD，有两个直角。所以我们考虑第一方法是HL，有一条公共边AB所以我们用HL就可以判定。练习、如图2，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.答：AB平行于CD理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△和Rt△中∵∴≌（）∴=（）∴（内错角相等，两直线平行）三、角平分线的性

6、质二、如果一条射线把一个角分成相等的两部分，那么这条直线就叫做这个角的角平分线。尺规作图：以O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于E,交OB于F以E,F为圆心，大于1/2ef长为半径画弧，两狐在角AOB的内部交于C画射线OC则射线OC就是我们要求的角平分线。角平分线的性质：角平分线上的点（到角两边的距离）相等。例4.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分

7、线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．例5.已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明:∵QD⊥OA，QE⊥OB（已知），　∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中