二项式中最大项最小项问题求法

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1、二项式中“最大项、最小项”的求解策略二项式定理中涉及最大项、最小项的问题比较多，问题的给出都是满足一定条件的指定项或特殊项，通常都可以利用通项来解决．在求解中，要注意系数的符号对求解的影响及项的系数与二项式系数的异同．１．二项式系数最大项问题例１　已知的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．分析：要注意展开式中二项式系数与项的系数的区别，根据条件．先确定的值，再根据二项式系数的性质求解．解：的展开式中，第５项、第６项、第７项的二项式系数分别为．由题意得，即．∴＝７或＝14．当=7时，展开式中二项式系数最大的项为和，∴

2、，．当＝14时，展开式中二项式系数最大的项为，∴．评注：求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，为奇数时中间两项的二项式系数最大，为偶数时中间一项的二项式系数最大．２．二项展开式中系数最大项问题例２　已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．解：末三项的二项式系数分别为，由题设，得，即．∴，　∴舍去）．∵，设项，项和的系数分别为，和，则．设最大，则　可知＝11或=12．∴展开式中系数最大的项是．例３　求展开式中系数最大的项．解：展开式共有８项，系数最大的项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因括号内的两项中后项系数的绝

3、对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右，故只需比较和两项系数大小即可．，所以系数最大的项是第五项，．评注：求二项展开式中系数最大的项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通过对问题的分析和推理，使解题过程得到简化．３．二项展开式中指定项系数最大（小）项问题例4　已知的展开式中含项的系数为11，求展开式中项系数的最小值．解：∵＝，∴，∴∴＝∵，∴＝3时，上式有最小值22．即展开式中项系数的最小值是22.评注：对于此类问题，可利用二项式定理展开，求出项的系数，再将问题转化为二次函数知识进行

4、求解．４．展开式中最大项（数值）问题例５　设，试问展开式中第几项最大？解：设第＋１项为且最大，则有．∴展开式中第30项最大．评注：此类问题同第二类问题类似，常设出它的最大项，列不等式组，再确定该项．