2.3离散型随机变量的均值

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1、公开课教案：2.3离散型随机变量的均值授课老师：刘晓敏2010-6-4教学目标：了解加权平均的意义，学会根据离散型随机变量的分布列计算均值；理解离散型随机变量的均值含义；熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。难点：了解随机变量均值的含义；二项分布随机变量均值公式的推导。教学导图：离散型随机变量均值的定义两点分布的随机变量均值的计算二项分布的随机变量均值的计算正确理解均值的含义加权平均数的介绍教学设计：一：引入问题1：如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、91；那你的平均成绩是多少？学生答：（90+80+77+68+85+91）÷

2、6=81.8教师：得数是各门学科的平均数，各门学科的成绩在平均数中所占的比重均等，所以也可以看成：问题2：你的期中数学考试成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？学生答：70×70%+60×30%=67教师：67这个得数也是一种平均数，只是在计算平均数时，我们根据每个数据所占的比重不同在它的前面所乘的系数也不同，这样得到的平均数我们叫做加权平均数。即：教师：权：称棰，权衡轻重的数值；加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分

3、别给予不同的权数。练习：某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？学生答：二：新课问题３你能解释该问题中每个权数所代表的实际含义吗？讨论：表示各种糖果在混和时所占的比例；教师：如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1kg的糖果，其中各种糖果所占的比例应该约为各个权数；如果我们任取一个糖果，这时各个权数对于这个样本糖果而言含义是什么？学生答：它是各个价位糖果的可能性。教师：也就是说这个糖果是18元/kg的概率为，为24元/kg的概率为，为36元/kg的概率为，那我们这

4、时就可以换个角度：设混合糖果中各糖果的单价为随机变量X，那么Ｘ的取值可能是：18、24、36；取到各个值的概率分别为：、、；相当于知道了该离散型随机变量X的分布列：X182436P那么我们所得到的合理价格应该就是X取值的一个加权平均数。即：合理价格=18×+24×+36×=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)问题４：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列：XX1X2x3PP1P2P3该随机变量的平均取值应该怎样计算？学生答：x1p1+x2p2+…+xnpn教师：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量X的均值或者数学期望

5、，记为：EX=x1p1+x2p2+…+xnpn它反映了Ｘ取值的平均水平。注意：该平均数与以往的平均数有哪里不同？它是加权平均。根据什么来确定权数？所取值的概率。三：例题例１：在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？解：根据已知我们可以得到该随机变量Ｘ的分布列：X01p0.30.7因此EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7分析：该随机变量X服从两点分布，对于任意一个满足两点分布的随机变量X来说，它的均值计算如下：X10pp1-pEX=p例2：某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0

6、.020.040.060.090.280.290.22求n次射击的平均环数。解：Eξ=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22=8.12答：n次射击的平均环数为8.12。变更：如果这次射击的环数与奖金挂钩，奖金变量η与射击环数ξ的关系如下：η=2ξ+1则问：奖金变量η的均值为多少？解法1：由ξ的分布列和η和ξ的关系，可以将η的分布列写出：ξ45678910η9111315171921P0.020.040.060.090.280.290.22所以Eη=17.24分析：能不能根据Eξ直接求Ｅη？（推导公

7、式略）因此：已知两个离散型随机变量X、Y，Y=aX+b，则：EY=aEX+b解法2：因为η=2ξ+1，所以Eη=2Eξ+1=2×8.12+1=17.24变更：如果我们只关心他是否打中10环，因此设5次射击中打中10环的次数为变量X，则如何求X的均值？解法1：每次射击时打中10环的概率均等为0.22，因此X的分布列如下：X012345PEX=……分析：结算量很大，该随机变量X满足什么分布？二项分布。二项分布是我们很熟悉、很常见的分布，如果每次碰到这种分布都要进行计算量如此繁琐的步骤是我们最不愿看到的，能不能像两点分布那样总结出某种计算的规律呢？（分析推导步骤

8、略）因此：对于一般的二项分布X～B(n,p)，EX=np解法2：根