离散型随机变量均值

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1、2.3.1离散型随机变量的均值Eξ=x1p1+x2p2+…+xipi+…1.一般地,设离散型随机变量ξ的概率分布为:ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…则称__________________________为ξ的数学期望，简称______.它反映了离散型随机变量取值的___________.平均水平期望复习回顾：1.若ξ是随机变量,η=aξ+b,则E(aξ+b)=________.2.若ξ~B(n,p),则Eξ=____.3.若随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k,p),则Eξ=____.aEξ+bnpp1２.期望的性质:例2.一次单元测验由20个选择题构成，

2、每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个,求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均值。910解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则X1～B(20,0.9),X2～B(20,0.25)EX1=20X0.9=18,EX2=20X0.25=5由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2因此,他们在测验中的成绩的均值分别是E(5X1)=5EX1=5X18=90E(5X2)=5EX2=5X5

3、=25思考:(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?(2)他的均值为90分的含义是什么?不一定.他的成绩是一个随机变量,可能取值为0,5,10,…95,100含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费3800元;方案2:建保护围墙,建设费为2000元.但围墙只能防小洪水.方案3:不采取措施,希望不发生洪水.试比较哪一种方案好?解

4、:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3800元,即X1=3800采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元;没有大洪水时,损失2000元,即采用第3种方案,有于是,EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000)=62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600EX1=3800,EX3=60000XP(X3=60000)+10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0)=60000X0.01+10000X0.25=3100显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方

5、案2思考1.某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列P10－40.60.4所以E=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4因为4.4>2,所以商场应选择在商场外进行促销.姚明的投篮命中率为0.8，假设他每次命中率相同,他在某次训练中连续投篮，直到进球为止，则他的平均投篮次数是多少?一.投篮次数问题某安全生产监督部门对5家小型煤矿

6、进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5.则平均有多少家煤矿必须整改?解:由题设,必须整改的煤矿数从而的数学期望是答:平均有2.5家煤矿必须整改.二.安全生产问题例.目前由于各种原因,许多人选择租车代步,租车行业生意十分兴隆,但由于租车者以新手居多,车辆受损事故频频发生.据统计,一年中一辆车受损的概率为0.03.现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一年的保险费为1000元,若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿3000元,求保险公司收益的期望.两点分布

7、三.保险公司收益问题0.030.97P-20001000一年内保险公司收益的分布列：假如你是一位商场经理,在十一那天想举行促销活动,根据统计资料显示:(1).若在商场内举行促销活动,可获利2万元(2).若在商场外举行促销活动,则要看天气情况:不下雨可获利10万元,下雨则要损失4万元.气象台预报十一那天有雨的概率是40%,你应选择哪种促销方式？四.商场促销问题商场促销问题解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为万元,则的分布列为：0.40.6P－410E=10×0.6＋(－4)×0.4=4.4万元变式1：若下雨的概率为0.6