不等式恒成立有解问题

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1、不等式恒成立与有解问题不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容.它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具.在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目，比如2006年高考江西卷以及湖北卷.其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极

2、限、导数等新增内容的掌握和灵活运用.它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向.因此，越来越受到高考命题者的青睐.下面通过一些典型实例作一剖析.1．不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.（1）不等式f(x)k在xI时恒成立xI.或f(x)的下界大于或等于k；（4）不等式f(x)>k在x

3、I时有解xI.或f(x)的上界大于k；解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等.例1已知两函数f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中k为实数.（1）对任意x[-3，3]，都有f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（2）存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，求k的取值范围；（3）对任意x1x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)，求k的取值范围.解析（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2

4、-12x+k，问题转化为x[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0，得x=-1或2.由h(-1)=7+k，h(2)=-20+k，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h(x)=-45+k，由k-45≥0，得k≥45.（2）据题意：存在x[-3，3]，使f（x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3，3]有解，故h(x)≥0，由（1）知h（x）=k+7，于是得k≥-7.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1x2[-3，3]，都有f（x1)≤g(x2)成

5、立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-或-1，易得，又f(x)=8(x+1)2-8-k，.故令120-k≤-21，得k≥141.点评本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.2．不等式恒成立问题例2（06年全国）设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围.解析构作辅助函数g(x)=f(x)-ax=(x+1)l

6、n(x+1)-ax，原问题变为g(x)≥0对所有的x≥0恒成立，注意到g(0)=0，故问题转化为g(x)≥g(0)在x≥0时恒成立，即函数g(x)在为增函数.于是可通过求导判断g(x)的单调性，再求出使g(x)≥g(0)成立的条件.g′(x)=ln(x+1)+1-a，由g′(x)=0，得x=e-1.当x>e-1时，g′(x)>0，g(x)为增函数.当-1

7、时，也可转化为，再以导数为工具，稍作讨论即可得解.值得一提的是，本题还有考生采用参数分离法求解：由f(x)=(x+1)ln(x+1)≥ax对所有的x≥0恒成立可得：（1）当x=0时，aR.（2）当x>0时，设g(x)=,问题转化为求g(x)在开区间（0，+∞）上最小值或下界，，试图通过g′(x)=0直接解得稳定点，困难重重！退一步令h(x)=x-ln(x+1)，因为，故>0，则h(x)在（0，+∞）单调递增，即h(x)>h(0)=0，从而>0，于是g(x)在（0，+∞）单调递增，故g(x)无最小值，此时，由于g(0)无意义，g(x)的下界一时也确定不了，但运用

8、极限知识可得：，然而求此极限却又超出所